As students demonstrated mastery of

As students demonstrated mastery of finding sets of shapes with one attribute difference, they were encouraged to find shapes with two attribute differences, and then three attribute differences. At times, students interpreted a presenter’s finding by guessing on the basis of given sets. For example, if a student held up one big, thick, blue circle and one big, thin, blue triangle, then how many differences exist? Yes, there are two differences: in shape and thickness. When a student held up two shapes that he or she thought contained two differences, the student was reasoning among the attributes. Students within the same group critiqued the reasoning of that student, determining if he or she was correct. As an example of such communication, one student in particular held up a small, thick, red triangle and a large, thick, blue circle. Another student stated, “Those shapes have three differences instead of two.” As a result, the student holding up the shapes reflected on his thinking and decided to pick up a small, thick, red triangle and a small, thick, blue circle.
This interaction among students exemplifies the reasoning and sense making described by NCTM as well as the practices that promote mathematically proficient students as described by the Standards of Mathematical Practice (SMP) in the Common Core State Standards (CCSSI 2010) and by the National Research Council (NRC 2001).
Grouping by three attribute differences was difficult for most of the students. Only one group was successful. When asked to describe the group’s strategy, one of its members explained, “First I see how the shapes are alike.”
Many of the students focused on similarities among the shapes before identifying differences. The strategy of working backward assisted students in finding shapes that fit this category. For example, referring to the previous dialogue, the student held up a small, thick, red triangle and a large, thick, blue circle. A student who works backward would identify how the shapes are alike first: they are both thick. Therefore, everything else is a difference: color, shape, and size. In other words, if the shapes have only one similarity, then they have three differences. Sharing this student’s finding with the class prompted the other groups to continue searching for shapes with three attribute differences. The student responses to this activity were indicative of their abilities to recognize and verbalize their understanding among the characteristics and properties of the shapes. As a result, they could make connections among the properties and characteristics, which is consistent with the Van Hiele directed-orientation phase.

Results (Vietnamese) 2:

Khi học sinh chứng minh chủ của việc tìm kiếm bộ hình với một sự khác biệt thuộc tính, họ được khuyến khích để tìm các hình dạng với hai sự khác biệt thuộc tính, và sau đó ba khác biệt thuộc tính. Đôi khi, sinh viên giải thích kết luận của người dẫn chương trình bằng cách đoán trên cơ sở tập hợp nhất định. Ví dụ, nếu một sinh viên đã tổ chức lên một lớn, dày, hình tròn màu xanh và một lớn, mỏng, hình tam giác màu xanh, sau đó bao nhiêu sự khác biệt tồn tại? Có, có hai sự khác biệt: trong hình dạng và độ dày. Khi một học sinh giơ lên hai hình rằng anh ta hoặc cô nghĩ chứa hai sự khác biệt, các sinh viên đã được lý luận giữa các thuộc tính. Học sinh trong cùng một nhóm phê bình lý luận của sinh viên đó, việc xác định nếu người đó là đúng. Như một ví dụ về thông tin liên lạc như vậy, một học sinh đặc biệt được tổ chức lên một nhỏ, dày, hình tam giác màu đỏ và một, dày, hình tròn lớn màu xanh. Một sinh viên khác đã nói, "Những hình dạng này có ba sự khác biệt thay vì hai." Kết quả là, các sinh viên đang nắm giữ lên các hình dạng phản ánh về suy nghĩ của mình và quyết định lấy một nhỏ, dày, hình tam giác màu đỏ và một, dày, hình tròn nhỏ màu xanh.
Điều này tương tác giữa các học sinh tiêu biểu cho các lý luận và cảm nhận được tỉ số được mô tả bởi NCTM cũng như các thông lệ được thúc đẩy sinh viên toán học thành thạo như mô tả của các tiêu chuẩn của toán học thực hành (SMP) trong các tiêu chuẩn Nhà nước Common Core (CCSSI 2010) và Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia (NRC 2001).
Nhóm của ba khác biệt thuộc tính là khó khăn đối với hầu hết các sinh viên. Chỉ có một nhóm đã thành công. Khi được yêu cầu mô tả chiến lược của nhóm, một trong những thành viên của nó giải thích, "Lần đầu tiên tôi thấy như thế nào hình dạng giống nhau."
Nhiều người trong số các sinh viên tập trung vào giống nhau giữa các hình dạng trước khi xác định sự khác biệt. Các chiến lược làm việc sinh viên lùi hỗ trợ trong việc tìm kiếm hình dạng phù hợp với thể loại này. Ví dụ, đề cập đến các cuộc đối thoại trước đó, các sinh viên đã tổ chức lên một nhỏ, dày, hình tam giác màu đỏ và một, dày, hình tròn lớn màu xanh. Một sinh viên người làm việc lạc hậu sẽ xác định như thế nào hình dạng giống nhau đầu tiên: họ là cả hai dày. Do đó, mọi thứ khác là một sự khác biệt: màu sắc, hình dạng và kích thước. Nói cách khác, nếu các hình dạng chỉ có một điểm giống nhau, sau đó họ có ba sự khác biệt. Chia sẻ phát hiện của học sinh này với các lớp nhắc nhở các nhóm khác để tiếp tục tìm kiếm các hình dạng với ba khác biệt thuộc tính. Các câu trả lời của học sinh cho hoạt động này cho thấy rõ khả năng của mình để nhận ra và dùng như động từ sự hiểu biết của họ trong các đặc điểm và tính chất của các hình dạng. Kết quả là, họ có thể làm cho các kết nối giữa các tính chất và đặc điểm, điều đó phù hợp với các giai đoạn đạo định hướng Văn Hiele.