How is all of this implemented in t

How is all of this implemented in the classroom? As I said above, I
proceed similarly to teaching a foreign language. Early in the semester, I
present the students with a list of roughly twenty common geometrical
terms, such as, circle, square, trapezoid and midpoint, and for homework
ask them to write out definitions. I provide them with the following ìGuidelines
for Definitions in Good Formî:
1. A definition MUST be written as a complete,
grammatically correct English sentence.
2. A definition MUST be an ìif and only ifî statement.
3. A definition MUST have a clearly stated genus and a
clearly stated species.
4. The quantifiers in a good definition MUST be explicitly
and clearly stated.
5. The term being defined MUST be underlined.
The next few class periods are spent with students putting their
definitions on the board. The class and I critique them according to the
principles outlined above. This invariably brings to the fore many issues,
ranging from a reluctance to write in complete sentences and a decided
preference for symbols over words to the syntactical issues described
above. Many misconceptions can be brought to light and usually corrected.
I also call on students to state definitions verbally. By engaging
both speaking and writing, I hope to more deeply and actively penetrate
the studentsí thinking.
We also explore the meaning of the definitions, the range of choices
available, and some of the history involved. For example, Aristotle (384 -
322 BC) insisted that the subclasses (species) of each genus be disjoint:
they could not overlap and one subclass could not include another. Thus
for Aristotle, a square was NOT a rectangle. [1, p. 136] From the modern
point of view this is inconvenient. Virtually everything one wants to
prove about non-square rectangles also holds for squares, so it is a nuisance
to have to state and prove two separate theorems. The modern
standard is that squares are special cases of rectangles, so theorems about
rectangles also apply to squares.
Finally, students are assigned to groups, first to provide feedback
on the membersí definitions and later to compile as a group a list of ìstandardî
definitions in good form for all the given terms.
I do not require students to memorize common geometric definitions,
but when we reach the abstraction of transitivity and equivalence
relations, I provide models which must be memorized. There are two main
54 Language and Learning Across the Disciplines
reasons for this. First, it is not possible to have a good class discussion
involving these concepts if students must constantly flip through their
notes to look up the definitions. Second, the definitions I provide are
models of good mathematical expression, something which is often lacking
in elementary texts. Students can use these models to help build their
own definitions (and later, theorems and proofs), but most importantly,
repeating them out loud and memorizing them helps develop an ear for
how correct mathematical discourse should sound.
ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗ ΕΙΣΙΤΩ
ìLet no one ignorant of geometry enter hereî
ó Plato, now the Motto of the American
Mathematical Society
In conclusion, I want to confess what my real goals are in teaching
this material. In a society in which information is passed in 60 second
sound bites and reasoning limited to monosyllabic simple sentences, careful,
analytic thinking is in danger of extinction. And this is a grave danger
in a democratic society beset by a host of very complex moral and social
problems. When geometry passed from the pragmatic, monarchical Egyptian
surveyors to the democratic Greek philosophers nearly three millennia
ago, its purpose changed. True, geometry (and more generally mathematics)
has been many practical applications. But that is not why geometry
has retained a universal place in the curriculum. It has been taught to
teach reasoning and intellectual discipline. This why Plato placed his
famous motto over the academy door. That is why Abraham Lincoln
studied Euclid. And that remains my main goal in teaching

Results (Vietnamese) 1:

Làm thế nào là tất cả những điều này thực hiện trong lớp học? Như tôi đã nói ở trên, tôitiến hành tương tự như vậy để giảng dạy một ngôn ngữ nước ngoài. Sớm trong học kỳ, tôitrình bày các sinh viên với một danh sách các khoảng hai mươi phổ biến hình họcđiều khoản, chẳng hạn như, vòng tròn, hình vuông, hình thang và trung điểm, và cho bài tập ở nhàyêu cầu họ viết ra định nghĩa. Tôi cung cấp cho họ với ìGuidelines sauđịnh nghĩa trong Formî tốt:1. một định nghĩa phải được ghi là một hoàn thành,câu đúng ngữ pháp tiếng Anh.2. một định nghĩa phải là một ìif và chỉ ifî tuyên bố.3. một định nghĩa phải có một chi đã mô tả rõ ràng và mộtghi rõ loài.4. các quantifiers trong một định nghĩa tốt phải rõ ràngvà rõ ràng đã mô tả.5. thuật ngữ được xác định phải được nhấn mạnh.Tiếp theo thời gian lớp học vài được chi tiêu với sinh viên đặt của họđịnh nghĩa trên bảng. Các lớp học và tôi phê phán họ theo cácnguyên tắc đã nêu ở trên. Điều này không thay đổi mang đến cho fore nhiều vấn đề,khác nhau, từ một miễn cưỡng để viết trong câu hoàn chỉnh và một quyết địnhưu tiên cho các biểu tượng trên từ syntactical các vấn đề được mô tảở trên. Nhiều quan niệm sai lầm có thể được mang lại ánh sáng và thường sửa chữa.Tôi cũng gọi về các sinh viên đến bang định nghĩa bằng lời nói. Bằng cách tham giacả hai nói và viết, tôi hy vọng để xâm nhập sâu hơn và tích cựcsuy nghĩ studentsí.Chúng tôi cũng tìm hiểu ý nghĩa của các định nghĩa, phạm vi của sự lựa chọncó, và một số lịch sử liên quan. Ví dụ, Aristotle (384-322 BC) khẳng định rằng phân lớp (loài) của mỗi chi được các:họ có thể không trùng lặp và một phân lớp có thể có khác. Do đóĐối với Aristotle, một hình vuông đã không một hình chữ nhật. [1, p. 136] Từ hiện đạiquan điểm này là bất tiện. Hầu như tất cả mọi thứ một muốnchứng minh về hình chữ nhật square cũng giữ cho các quảng trường, do đó, nó là một phiền toáicó nhà nước và chứng minh hai định lý riêng biệt. Hiện đạitiêu chuẩn là hình vuông là các trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật, vì vậy định lý vềhình chữ nhật cũng áp dụng cho hình vuông.Cuối cùng, học sinh được gán cho nhóm, lần đầu tiên để cung cấp thông tin phản hồitrên các định nghĩa membersí và sau đó để biên dịch như là một nhóm một danh sách ìstandardîđịnh nghĩa trong hình thức tốt cho tất cả các cụm từ nhất định.Tôi không yêu cầu sinh viên ghi nhớ phổ biến hình học định nghĩa,nhưng khi chúng tôi tiếp cận trừu tượng của transitivity và tương đươngmối quan hệ, tôi cung cấp mô hình phải được nhớ. Có hai chính54 ngôn ngữ và học tập qua các ngànhlý do cho việc này. Đầu tiên, nó là không thể có một cuộc thảo luận tốt lớpliên quan đến các khái niệm Nếu sinh viên phải liên tục lướt qua của họghi chú để tìm kiếm các định nghĩa. Thứ hai, các định nghĩa tôi cung cấpCác mô hình tốt luận toán học, một cái gì đó mà thường xuyên thiếutrong các văn bản tiểu học. Sinh viên có thể sử dụng các mô hình này để giúp xây dựng của họsở hữu định nghĩa (và sau đó, định lý và chứng minh), nhưng quan trọng nhất,lặp đi lặp lại chúng thành tiếng, và ghi nhớ chúng giúp phát triển một tai chochính xác như thế nào toán học discourse nên âm thanh.ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗ ΕΙΣΙΤΩìLet không có một không biết gì về hình học nhập hereîó Plato, bây giờ là khẩu hiệu của người Mỹ Toán học xã hộiTrong kết luận, tôi muốn thú nhận những gì mục tiêu thực sự của tôi đang giảng dạytài liệu này. Trong một xã hội mà trong đó thông tin được truyền trong 60 giâyâm thanh cắn và lý do giới hạn đối với các mẫu câu đơn giản đơn âm, cẩn thận,phân tích tư duy là nguy cơ tuyệt chủng. Và đây là một mối nguy hiểm nghiêm trọngtrong một xã hội dân chủ bao vây bởi một loạt các phức tạp rất Đạo Đức và xã hộivấn đề. Khi hình học thông qua từ Ai Cập thực dụng, monarchicalkhảo sát để chủ nhà triết học Hy Lạp gần như ba thiên niên kỷtrước đây, mục đích của nó thay đổi. True, hình học (và nói chung là toán học)đã có nhiều ứng dụng thực tế. Nhưng đó là không phải tại sao hình họcđã giữ lại một vị trí phổ quát trong chương trình giảng dạy. Nó đã dạy chodạy kỷ luật sở hữu trí tuệ và lý luận. Lý do tại sao này Plato đặt mìnhkhẩu hiệu nổi tiếng qua cửa học viện. Đó là lý do tại sao Abraham Lincolnnghiên cứu Euclid. Và những gì còn lại mục tiêu chính của tôi trong việc giảng dạy

Results (Vietnamese) 2:

Làm thế nào là tất cả điều này được thực hiện trong lớp học? Như tôi đã nói ở trên, tôi
tiến hành tương tự như dạy tiếng nước ngoài. Sớm trong học kỳ, tôi
trình bày cho sinh viên với một danh sách khoảng hai mươi hình học phổ biến
thuật ngữ, chẳng hạn như, hình tròn, hình vuông, hình thang và trung điểm, và cho bài tập về nhà
yêu cầu họ viết ra định nghĩa. Tôi cung cấp cho họ với các ìGuidelines sau
để định nghĩa trong Tốt Formî:
1. Một định nghĩa phải được viết như là một hoàn thành,
câu tiếng Anh đúng ngữ pháp.
2. Một định nghĩa phải là một IIF và chỉ IFI tuyên bố.
3. Một định nghĩa phải có một chi bố rõ ràng và một
loài nêu rõ.
4. Việc định lượng trong một định nghĩa tốt PHẢI được một cách rõ ràng
và được ghi rõ.
5. Thời hạn được xác định phải được gạch chân.
Các tiết học tiếp theo ít được dành với các sinh viên đưa họ
định nghĩa trên bảng. Các lớp và tôi phê phán họ theo các
nguyên tắc nêu trên. Điều này luôn luôn mang đến rất nhiều vấn đề nổi bật,
khác nhau, từ một sự miễn cưỡng để viết thành câu hoàn chỉnh và một quyết định
ưu tiên cho các ký hiệu trên từ để các vấn đề cú pháp mô tả
ở trên. Nhiều quan niệm sai lầm có thể được đưa ra ánh sáng và thường được sửa chữa.
Tôi cũng kêu gọi các sinh viên để định nghĩa tính trạng bằng lời nói. Bằng cách tham gia
cả nói và viết, tôi hy vọng sâu sắc hơn và tích cực chủ động
tư duy studentsí.
Chúng tôi cũng tìm hiểu ý nghĩa của các định nghĩa, phạm vi của sự lựa chọn
có sẵn, và một số trong lịch sử có liên quan. Ví dụ, Aristotle (384 -
322 trước Công nguyên) nhấn mạnh rằng các lớp con (loài) của mỗi chi thể tách rời nhau:
họ không thể chồng lên nhau và một lớp con không có thể bao gồm một. Như vậy
đối với Aristotle, một hình vuông là không một hình chữ nhật. [1, p. 136] Từ hiện đại
điểm của quan điểm này là bất tiện. Hầu như tất cả mọi thứ một người muốn
chứng minh về hình chữ nhật không vuông cũng được dùng cho các quảng trường, do đó, nó là một mối phiền toái
phải nhà nước và chứng minh hai định lý riêng biệt. Các hiện đại
tiêu chuẩn là hình vuông là trường hợp đặc biệt của hình chữ nhật, vì vậy định lý về
hình chữ nhật cũng áp dụng đối với hình vuông.
Cuối cùng, học sinh được giao cho các nhóm, đầu tiên cung cấp thông tin phản hồi
về các định nghĩa membersí và sau đó biên dịch như là một nhóm danh sách các ìstandardî
định nghĩa trong hình thức tốt cho tất cả các điều khoản nhất định.
Tôi không đòi hỏi học sinh phải nhớ các định nghĩa hình học thông thường,
nhưng khi chúng ta đạt đến sự trừu tượng bắc cầu và tương đương
các mối quan hệ, tôi cung cấp mô hình đó phải được ghi nhớ. Có hai chính
54 ngôn ngữ và học tập Across the tắc
lý do cho việc này. Đầu tiên, nó không phải là có thể có một cuộc thảo luận lớp học tốt
liên quan đến các khái niệm này nếu sinh viên phải thường xuyên lướt qua họ
ghi chú để tìm kiếm các định nghĩa. Thứ hai, các định nghĩa tôi cung cấp là
mô hình của biểu thức toán học tốt, cái gì đó thường thiếu
trong các văn bản tiểu. Học sinh có thể sử dụng các mô hình để giúp xây dựng của họ
định nghĩa của riêng (và sau này, các định lý và chứng minh), nhưng quan trọng nhất,
lặp lại chúng thật to và ghi nhớ chúng giúp phát triển một tai cho
cách chính xác ngôn toán học nên âm thanh.
ΑΓΕΩΜΕΤΡΗΤΟΣ ΜΗ ΕΙΣΙΤΩ
ìLet không ai không biết gì của hình học nhập hereî
ó Plato, bây giờ Phương châm của American
Mathematical Society
Trong kết luận, tôi muốn thú nhận những gì các mục tiêu thực sự của tôi là trong giảng dạy
vật liệu này. Trong một xã hội mà trong đó thông tin được thông qua trong 60 giây
cắn âm thanh và lý luận để hạn chế đơn âm câu đơn giản, cẩn thận,
suy nghĩ phân tích đang có nguy cơ tuyệt chủng. Và đây là một mối nguy hiểm nghiêm trọng
trong một xã hội dân chủ bị bao vây bởi một loạt các đạo đức và xã hội rất phức tạp
vấn đề. Khi hình học truyền từ thực dụng, Ai Cập quân chủ
khảo sát của các triết gia Hy Lạp dân chủ gần ba nghìn năm
trước đây, mục đích của nó thay đổi. Đúng, hình học (và nói chung mathematics)
đã có nhiều ứng dụng thực tế. Nhưng đó không phải là lý do tại sao hình học
đã giữ lại một nơi phổ quát trong các chương trình giảng dạy. Nó đã được dạy để
dạy lý luận và kỷ luật trí tuệ. Điều này lý do tại sao Plato đặt mình
phương châm nổi tiếng trên các cánh cửa học viện. Đó là lý do tại sao Abraham Lincoln
học Euclid. Và đó vẫn là mục tiêu chính của tôi trong giảng dạy