Presorting is an old idea in comput

Presorting is an old idea in computer science. In fact, interest in sorting algorithms
is due, to a significant degree, to the fact that many questions about a list are
easier to answer if the list is sorted. Obviously, the time efficiency of algorithms
that involve sorting may depend on the efficiency of the sorting algorithm being
used. For the sake of simplicity, we assume throughout this section that lists are
implemented as arrays, because some sorting algorithms are easier to implement
for the array representation.
So far, we have discussed three elementary sorting algorithms—selection sort,
bubble sort, and insertion sort—that are quadratic in the worst and average cases,
and two advanced algorithms—mergesort, which is always in(nlogn),and
quicksort, whose efficiency is also(nlogn)in the average case but is quadratic in
the worst case. Are there faster sorting algorithms? As we have already stated in
Section 1.3 (see also Section 11.2), no general comparison-based sorting algorithm can have a better efficiency thannlognin the worst case, and the same result holds
for the average-case efficiency.
1
Following are three examples that illustrate the idea of presorting. More
examples can be found in this section’s exercises.
EXAMPLE 1Checking element uniqueness in an array If this element uniqueness problem looks familiar to you, it should; we considered a brute-force algorithm for the problem in Section 2.3 (see Example 2). The brute-force algorithm
compared pairs of the array’s elements until either two equal elements were found
or no more pairs were left. Its worst-case efficiency was in(n2
).
Alternatively, we can sort the array first and then check only its consecutive
elements: if the array has equal elements, a pair of them must be next to each
other, and vice versa.

The running time of this algorithm is the sum of the time spent on sorting
and the time spent on checking consecutive elements. Since the former requires
at leastnlogncomparisons and the latter needs no more thann−1 comparisons,
it is the sorting part that will determine the overall efficiency of the algorithm. So,
if we use a quadratic sorting algorithm here, the entire algorithm will not be more
efficient than the brute-force one. But if we use a good sorting algorithm, such
as mergesort, with worst-case efficiency in(nlogn),the worst-case efficiency of
the entire presorting-based algorithm will be also in(nlogn):

EXAMPLE 2Computing a mode Amodeis a value that occurs most often in a
given list of numbers. For example, for 5, 1, 5, 7, 6, 5, 7, the mode is 5. (If several
different values occur most often, any of them can be considered a mode.) The
brute-force approach to computing a mode would scan the list and compute the
frequencies of all its distinct values, then find the value with the largest frequency.

In order to implement this idea, we can store the values already encountered,
along with their frequencies, in a separate list. On each iteration, theith element
of the original list is compared with the values already encountered by traversing
this auxiliary list. If a matching value is found, its frequency is incremented;
otherwise, the current element is added to the list of distinct values seen so far
with a frequency of 1.
It is not difficult to see that the worst-case input for this algorithm is a list with
no equal elements. For such a list, itsith element is compared withi−1 elements
of the auxiliary list of distinct values seen so far before being added to the list with
a frequency of 1. As a result, the worst-case number of comparisons made by this
algorithm in creating the frequency list is The additionaln−1 comparisons needed to find the largest frequency in the auxiliary list do not change the quadratic worst-case efficiency class of the algorithm.
As an alternative, let us first sort the input. Then all equal values will be
adjacent to each other. To compute the mode, all we need to do is to find the
longest run of adjacent equal values in the sorted array.

The analysis here is similar to the analysis of Example 1: the running time of
the algorithm will be dominated by the time spent on sorting since the remainder
of the algorithm takes linear time (why?). Consequently, with annlognsort, this
method’s worst-case efficiency will be in a better asymptotic class than the worstcase efficiency of the brute-force algorithm.

EXAMPLE 3Searching problem Consider the problem of searching for a given
valuevin a given array of nsortable items. The brute-force solution here is
sequential search (Section 3.1), which needsncomparisons in the worst case. If
the array is sorted first, we can then apply binary search, which requires only
log
2n+1 comparisons in the worst case. Assuming the most efficientnlogn
sort, the total running time of such a searching algorithm in the worst case will be
T (n)=Tsort
(n)+Tsearch
(n)=(nlogn)+(logn)=(nlogn),
which is inferior to sequential search. The same will also be true for the averagecase efficiency. Of course, if we are to search in the same list more than once, the
time spent on sorting might well be justified. (Problem 4 in this section’s exercises
asks to estimate the minimum number of searches needed to justify presorting.)
Before we finish our discussion of presorting, we should mention that many,
if not most, geometric algorithms dealing with sets of points use presorting in
one way or another. Points can be sorted by one of their coordinates, or by
their distance from a particular line, or by some angle, and so on. For example,
presorting was used in the divide-and-conquer algorithms for the closest-pair
problem and for the convex-hull problem, which were discussed in Section 5.5.
Further, some problems for directed acyclic graphs can be solved more easily
after topologically sorting the digraph in question. The problems of finding the
longest and shortest paths in such digraphs (see the exercises for Sections 8.1
and 9.3) illustrate this point.
Finally, most algorithms based on the greedy technique, which is the subject of
Chapter 9, require presorting of their inputs as an intrinsic part of their operations.

Results (Indonesian) 1:

Presorting adalah ide lama dalam ilmu komputer. Pada kenyataannya, minat dalam algoritma pengurutanjatuh tempo, ke tingkat yang signifikan, fakta bahwa banyak pertanyaan tentang daftarlebih mudah untuk menjawab jika daftar diurutkan. Jelas, efisiensi waktu algoritmaitu melibatkan penyortiran Mei tergantung pada efisiensi yang algoritma pengurutandigunakan. Demi kesederhanaan, kita menganggap seluruh bagian ini yang daftardiimplementasikan sebagai array, karena lebih mudah untuk menerapkan beberapa algoritma sortinguntuk array.Sejauh ini, kita telah membahas tiga dasar algoritma sorting-urut pilihan,semacam gelembung, dan mengurutkan penyisipan — kuadrat dalam kasus terburuk dan rata-rata,dan dua maju algoritma — mergesort, yang selalu di (nlogn), danquicksort, efisiensi yang juga (nlogn) dalam kasus tapi rata-rata kuadrat dalamkasus terburuk. Ada lebih cepat algoritma pengurutan? Seperti yang kita telah menyatakan diBagian 1.3 (Lihat juga bagian 11,2), tidak umum berdasarkan perbandingan algoritma sorting dapat memiliki thannlognin efisiensi lebih baik kasus terburuk, dan hasil yang sama memeganguntuk rata-rata-kasus efisiensi.1Berikut adalah tiga contoh yang menggambarkan ide presorting. Lebihcontoh dapat ditemukan dalam bagian ini latihan.CONTOH 1Checking elemen keunikan dalam array jika masalah keunikan elemen ini tampak akrab bagi Anda, seharusnya; Kami menganggap brute force algoritma untuk mengatasi masalah di bagian 2.3 (Lihat contoh 2). Algoritma brute forcedibandingkan dengan berbagai elemen pasang sampai kedua-dua elemen yang sama ditemukanatau banyak pasangan yang tersisa. Efisiensi terburuk pada (n2).Selain itu, kita dapat mengurutkan array pertama dan kemudian periksa hanya yang berturut-turutelemen: jika array memiliki unsur-unsur yang sama, sepasang dari mereka harus di sebelah setiaplainnya, dan sebaliknya.Saat menjalankan algoritma ini adalah jumlah waktu yang dihabiskan pada penyortirandan waktu yang dihabiskan untuk memeriksa elemen konsekutif. Karena memerlukan mantandi leastnlogncomparisons dan yang kedua membutuhkan tidak lebih thann−1 perbandingan,ini adalah bagian pengurutan yang akan menentukan efisiensi keseluruhan algoritma. Jadi,Jika kita menggunakan kuadrat di sini algoritma sorting, seluruh algoritma tidak akan lebihefisien daripada brute force satu. Tetapi jika kita menggunakan algoritma pengurutan yang baik, sepertisebagai mergesort, dengan efisiensi yang terburuk di (nlogn), efisiensi terburukalgoritma berbasis presorting seluruh akan juga di (nlogn):CONTOH 2Computing a modus Amodeis nilai yang paling sering terjadi padaDaftar nomor yang diberikan. Misalnya, untuk 5, 1, 5, 7, 6, 5, 7, modus adalah 5. (Jika beberapanilai-nilai yang berbeda terjadi paling sering, salah satu dari mereka dapat dianggap sebagai modus.) Thebrute force pendekatan komputasi mode akan memindai daftar dan menghitungfrekuensi semua nilai yang berbeda, kemudian menemukan nilai dengan frekuensi yang terbesar.Dalam rangka melaksanakan gagasan ini, kita dapat menyimpan nilai-nilai yang sudah temui,bersama dengan frekuensi, dalam daftar terpisah. Setiap kali iterasi, elemen theithDaftar asli dibandingkan dengan nilai-nilai yang telah dihadapi oleh melintasiDaftar ini bantu. Jika pencocokan nilai ditemukan, frekuensi bertambah;Jika tidak, elemen saat ini akan ditambahkan ke daftar nilai-nilai yang berbeda, melihat begitu jauhdengan frekuensi 1.Hal ini tidak sulit untuk melihat bahwa input yang terburuk untuk algoritma ini adalah daftar dengantidak ada unsur-unsur yang sama. Untuk daftar tersebut, elemen itsith adalah unsur-unsur dibandingkan withi−1Bantu daftar nilai-nilai yang berbeda terlihat begitu jauh sebelum sedang ditambahkan ke daftar denganfrekuensi 1. Sebagai hasilnya, jumlah kasus terburuk perbandingan dibuat olehalgoritma dalam menciptakan daftar frekuensi adalah perbandingan additionaln−1 diperlukan untuk menemukan frekuensi terbesar dalam daftar penolong tidak mengubah kelas efisiensi terburuk kuadrat dari algoritma.Sebagai alternatif, mari kita pertama mengurutkan input. Kemudian semua nilai yang sama akanberdekatan satu sama lain. Untuk menghitung modus, semua yang perlu kita lakukan adalah untuk menemukanterpanjang Jalankan berdekatan sama nilai dalam array diurutkan.Analisis di sini mirip dengan analisis contoh 1: saat menjalankanalgoritma akan didominasi oleh waktu yang dihabiskan pada penyortiran sejak sisanyadari algoritma waktu linear (mengapa?). Akibatnya, dengan annlognsort, inimetode yang terburuk efisiensi akan lebih baik asimtotik kelas dari efisiensi worstcase algoritma brute force.Mempertimbangkan masalah 3Searching contoh masalah mencari tertentuvaluevin array nsortable item yang diberikan. Brute force solusinya di sini adalahberurutan pencarian (Bagian 3.1), yang needsncomparisons dalam kasus terburuk. Jikaarray yang diurutkan pertama, kita kemudian dapat menerapkan biner search, yang hanya membutuhkanlog2N + 1 perbandingan dalam kasus terburuk. Dengan asumsi efficientnlogn sebagianUrut, total durasi sebuah algoritma pencarian dalam kasus terburuk akanT (n) = Tsort(n) + Tsearch(n) = (nlogn) + (logn) = (nlogn),mana lebih rendah daripada berurutan Cari. Sama juga akan benar untuk efisiensi averagecase. Tentu saja, jika kita ingin Cari di daftar yang sama lebih dari sekali,waktu yang dihabiskan pada pemilahan baik dibenarkan. (Masalah 4 dalam bagian ini latihanmeminta untuk memperkirakan jumlah minimum pencarian yang diperlukan untuk membenarkan presorting.)Sebelum kita menyelesaikan diskusi kita tentang presorting, kita harus menyebutkan bahwa banyak,Jika tidak sebagian besar, geometris algoritma berurusan dengan set poin menggunakan presorting disalah satu cara atau yang lain. Poin dapat diurutkan berdasarkan salah satu koordinat mereka, atau olehjarak mereka dari baris tertentu, atau dengan beberapa sudut, dan sebagainya. Sebagai contoh,presorting digunakan dalam membagi-dan-menaklukkan algoritma untuk terdekat-pasanganmasalah dan masalah lambung cembung, yang dibahas dalam Bagian 5.5.Selanjutnya, beberapa masalah untuk diarahkan acyclic grafik dapat diselesaikan lebih mudahsetelah topologically penyortiran dwihuruf yang bersangkutan. Masalah menemukanjalur terpanjang dan terpendek dalam digraf tersebut (Lihat latihan untuk bagian 8.1dan 9.3) menggambarkan hal ini.Akhirnya, kebanyakan algoritma berdasarkan teknik yang serakah, yang merupakan subjek dariBab 9, memerlukan presorting masukan mereka sebagai bagian intrinsik dari operasi mereka.

Results (Indonesian) 2:

Presorting adalah ide lama dalam ilmu komputer. Bahkan, minat algoritma pengurutan
adalah karena, untuk tingkat signifikan, fakta bahwa banyak pertanyaan tentang daftar yang
mudah untuk menjawab jika daftar diurutkan. Jelas, efisiensi waktu algoritma
yang melibatkan pengurutan mungkin tergantung pada efisiensi dari algoritma sorting yang
digunakan. Demi kesederhanaan, kita mengasumsikan seluruh bagian ini yang daftar yang
diimplementasikan sebagai array, karena beberapa algoritma sorting lebih mudah untuk menerapkan
untuk representasi array.
Sejauh ini, kita telah membahas tiga pemilahan dasar algoritma seleksi semacam,
bubble sort, dan insertion semacam-yang kuadrat dalam kasus-kasus terburuk dan rata-rata,
dan dua canggih algoritma-mergesort, yang selalu di? (nlogn), dan
quicksort, yang efisiensi juga? (nlogn) dalam kasus rata-rata tetapi adalah kuadrat dalam
kasus terburuk . Apakah ada algoritma pengurutan cepat? Seperti yang telah kita dinyatakan dalam
Bagian 1.3 (lihat juga Bagian 11.2), tidak ada algoritma sorting berbasis perbandingan umum dapat memiliki efisiensi yang lebih baik thannlognin kasus terburuk, dan hasil yang sama berlaku
untuk efisiensi rata-kasus.
1
Berikut ini adalah tiga contoh yang menggambarkan ide presorting. Lebih
contoh dapat ditemukan dalam latihan bagian ini.
Contoh 1Checking unsur keunikan dalam array Jika elemen ini masalah keunikan tampak akrab bagi Anda, seharusnya; kita dianggap algoritma brute force untuk masalah dalam Bagian 2.3 (lihat Contoh 2). Algoritma brute force
dibandingkan pasang elemen array sampai baik dua elemen yang sama ditemukan
atau tidak ada lebih banyak pasangan yang tersisa. Its efisiensi terburuk dalam
(n2?).
Atau, kita bisa mengurutkan array pertama dan kemudian memeriksa hanya berturut-turut yang
unsur: jika array memiliki unsur-unsur yang sama, sepasang dari mereka harus di samping satu sama
lain, dan sebaliknya. waktu berjalan dari algoritma ini adalah jumlah waktu yang dihabiskan untuk menyortir dan waktu yang dihabiskan untuk memeriksa unsur berturut-turut. Sejak mantan membutuhkan di leastnlogncomparisons dan kebutuhan yang terakhir tidak lebih thann-1 perbandingan, itu adalah bagian penyortiran yang akan menentukan efisiensi keseluruhan algoritma. Jadi, jika kita menggunakan algoritma sorting kuadrat sini, seluruh algoritma tidak akan lebih efisien daripada brute force satu. Tapi jika kita menggunakan algoritma sorting yang baik, seperti? Sebagai mergesort, dengan efisiensi terburuk di (nlogn), efisiensi terburuk dari seluruh algoritma berbasis presorting akan juga dalam (nlogn): CONTOH 2Computing mode Amodeis nilai yang terjadi paling sering dalam daftar yang diberikan nomor. Misalnya, untuk 5, 1, 5, 7, 6, 5, 7, modus ini 5. (Jika beberapa nilai yang berbeda yang paling sering terjadi, salah satu dari mereka dapat dianggap mode.) The pendekatan brute force untuk komputasi Modus akan memindai daftar dan menghitung frekuensi dari semua nilai yang berbeda, maka menemukan nilai dengan frekuensi terbesar. Untuk melaksanakan ide ini, kita dapat menyimpan nilai-nilai yang sudah ditemui, bersama dengan frekuensi mereka, dalam daftar tersendiri. Pada setiap iterasi, theith elemen dari daftar asli dibandingkan dengan nilai-nilai yang sudah dihadapi dengan melintasi daftar tambahan ini. Jika nilai yang cocok ditemukan, frekuensi bertambah, jika tidak, elemen saat ditambahkan ke daftar nilai yang berbeda lihat sejauh dengan frekuensi 1. Hal ini tidak sulit untuk melihat bahwa input terburuk untuk algoritma ini adalah daftar dengan tidak ada unsur-unsur yang sama. Untuk daftar seperti itu, elemen itsith dibandingkan withi-1 elemen dari daftar tambahan dari nilai-nilai yang berbeda lihat sejauh sebelum ditambahkan ke dalam daftar dengan frekuensi 1. Akibatnya, jumlah kasus terburuk dari perbandingan yang dibuat oleh ini algoritma dalam menciptakan daftar frekuensi Perbandingan-additionaln 1 diperlukan untuk menemukan frekuensi terbesar dalam daftar tambahan tidak mengubah kuadrat terburuk efisiensi kelas algoritma. Sebagai alternatif, mari kita mengurutkan input. Maka semua nilai yang sama akan berdekatan satu sama lain. Untuk menghitung mode, semua yang perlu kita lakukan adalah untuk menemukan jangka terpanjang nilai yang sama berdekatan dalam array diurutkan. Analisis di sini adalah mirip dengan analisis Contoh 1: waktu berjalan dari algoritma akan didominasi oleh waktu yang dihabiskan pada pemilahan sejak sisa dari algoritma membutuhkan waktu linier (mengapa?). Akibatnya, dengan annlognsort, ini efisiensi terburuk metode akan berada di kelas asimtotik lebih baik dari efisiensi worstcase dari algoritma brute force. Masalah CONTOH 3Searching Pertimbangkan masalah mencari diberikan valuevin array diberikan item nsortable. The brute force solusi di sini adalah pencarian sekuensial (Bagian 3.1), yang needsncomparisons dalam kasus terburuk. Jika array diurutkan pertama, kita kemudian dapat menerapkan pencarian biner, yang hanya membutuhkan? Login 2n? 1 perbandingan dalam kasus terburuk. Dengan asumsi paling efficientnlogn semacam, total waktu berjalan seperti algoritma pencarian dalam kasus terburuk akan T (n) = Tsort (n) + tsearch (n) =? (Nlogn) +? (Logn) =? (Nlogn) , yang lebih rendah daripada pencarian sekuensial. Hal yang sama juga akan berlaku untuk efisiensi averagecase. Tentu saja, jika kita mencari dalam daftar yang sama lebih dari sekali, yang waktu yang dihabiskan untuk menyortir mungkin akan dibenarkan. (Soal 4 di latihan bagian ini meminta untuk memperkirakan jumlah minimum pencarian dibutuhkan untuk membenarkan presorting.) Sebelum kita menyelesaikan diskusi kami presorting, kita harus menyebutkan bahwa banyak, jika tidak sebagian besar, algoritma geometrik berurusan dengan set poin menggunakan presorting di satu atau lain cara. Poin dapat diurutkan berdasarkan salah satu dari koordinat mereka, atau dengan jarak mereka dari baris tertentu, atau dengan beberapa sudut, dan sebagainya. Misalnya, presorting digunakan dalam algoritma divide-and-conquer untuk terdekat-pair masalah dan untuk masalah cembung-lambung, yang dibahas dalam Bagian 5.5. Selanjutnya, beberapa masalah untuk diarahkan grafik asiklik dapat diselesaikan dengan lebih mudah setelah topologi menyortir digraf tersebut. Masalah menemukan terpanjang dan terpendek jalur di digraf tersebut (lihat latihan untuk Bagian 8.1 dan 9.3) menggambarkan hal ini. Akhirnya, sebagian besar algoritma berdasarkan teknik serakah, yang merupakan subjek dari Bab 9, membutuhkan presorting input mereka sebagai bagian intrinsik dari operasi mereka.