Mathematics cannot be learned witho

Mathematics cannot be learned without being understood
ó it is not a matter of formulae being committed to memory
but of acquiring a capacity for systematic thought.
ó Peter Hilton [3]
Systematic thought does not mean reducing everything to symbols
and equations ó even when that is possible. Systematic thought also
requires precise verbal expression. Since serious mathematics is usually
communicated in the definition-theorem-proof format, the first step in learning
the formal communication of mathematics is in learning definitions.
For this reason, and because it requires the least technical sophistication,
I will illustrate my general methodology with definitions. Although the
examples below are kept elementary for the sake of the general reader, the
principles they illustrate become even more critical the more advanced the
material. This is sometimes a difficult point for students, who may not
understand the need for meticulous precision with elementary concepts.
But to have the technique needed to deal with complicated definitions,
say the definitions of equivalence relations or of continuity, it is necessary
to first practice with simple examples like the definition of a square.
Let us begin with a definition of definitions and some examples of
good and bad definitions. A definition is a concise statement of the basic
properties of an object or concept which unambiguously identify that
object or concept. The italicized words give the essential characteristics
of a good definition. It should be concise and not ramble on with extraneous
or unnecessary information. It should involve basic properties,
ideally those that are simply stated and have immediate intuitive appeal. It
should not involve properties that require extensive derivation or are hard
to work with. In order to be complete, a definition must describe exactly
the thing being defined ó nothing more, and nothing less.

Results (Vietnamese) 1:

Toán học không thể được học mà không được hiểuó nó không phải là một vấn đề của công thức được cam kết để nhớnhưng có được một năng lực cho tư tưởng có hệ thống.ó Peter Hilton [3]Tư tưởng có hệ thống có nghĩa là giảm tất cả mọi thứ để biểu tượngvà phương trình ó ngay cả khi đó là có thể. Hệ thống nghĩ cũngyêu cầu chính xác biểu hiện bằng lời nói. Kể từ khi toán học nghiêm trọng là thườngtrong định dạng định nghĩa định lý bằng chứng, bước đầu tiên trong học tậpthông tin liên lạc chính thức của toán học là trong việc học định nghĩa.Vì lý do này, và bởi vì nó đòi hỏi ít nhất kỹ thuật tinh tế,Tôi sẽ minh họa của tôi phương pháp tổng hợp với định nghĩa. Mặc dù cácVí dụ dưới đây được lưu giữ tiểu học vì lợi ích của độc giả nói chung, cácnguyên tắc họ minh họa trở thành hơn nữa quan trọng hơn cácvật liệu. Điều này đôi khi nhiệt độ khó khăn cho sinh viên, những người có thể khônghiểu sự cần thiết cho các chính xác tỉ mỉ với khái niệm tiểu học.Nhưng để có các kỹ thuật cần thiết để đối phó với định nghĩa phức tạp,nói rằng các định nghĩa của quan hệ tương đương hoặc liên tục, nó là cần thiếtđể thực hành đầu tiên với các ví dụ đơn giản như định nghĩa của một hình vuông.Chúng ta hãy bắt đầu với một định nghĩa của định nghĩa và một số ví dụ vềđịnh nghĩa tốt và xấu. Một định nghĩa là một tuyên bố ngắn gọn về cơ bảnthuộc tính của một đối tượng hoặc khái niệm rõ ràng xác định rằngđối tượng hoặc khái niệm. Nghiêng từ cung cấp cho các đặc điểm thiết yếumột định nghĩa tốt. Nó nên được súc tích và không ramble về với không liên quanhoặc thông tin không cần thiết. Nó nên liên quan đến tính chất cơ bản,lý tưởng nhất những người mà chỉ đơn giản là đã nêu và có ngay lập tức hấp dẫn trực quan. Nókhông nên liên quan đến bất động sản đòi hỏi phong phú derivation hoặc khóđể làm việc với. Để được hoàn thành, một định nghĩa phải mô tả chính xácđiều định nghĩa ó không có gì nhiều hơn, và không có gì ít hơn.

Results (Vietnamese) 2:

Toán học không thể học được mà không bị hiểu
ó nó không phải là một vấn đề của công thức đã được cam kết bộ nhớ
nhưng có được một năng lực tư duy hệ thống.
Ó Peter Hilton [3]
suy nghĩ có hệ thống không có nghĩa là làm giảm tất cả mọi thứ cho các biểu tượng
và các phương trình ó ngay cả khi đó là có thể được. Suy nghĩ có hệ thống cũng
đòi hỏi phải có cách diễn đạt bằng chính xác. Kể từ toán học nghiêm trọng thường được
trao đổi trong các định dạng độ nét-lý-proof, bước đầu tiên trong việc học
các giao tiếp chính thức của toán học là trong định nghĩa học tập.
Vì lý do này, và bởi vì nó đòi hỏi sự tinh tế kỹ thuật ít nhất,
tôi sẽ minh họa cho phương pháp chung của tôi với định nghĩa. Mặc dù các
ví dụ dưới đây được lưu giữ tiểu học vì lợi ích của người đọc nói chung, những
nguyên tắc mà họ minh họa càng quan trọng hơn việc nâng cao hơn các
vật liệu. Điều này đôi khi một điểm khó khăn cho sinh viên, những người có thể không
hiểu được sự cần thiết cho độ chính xác tỉ mỉ với các khái niệm cơ bản.
Tuy nhiên, để có những kỹ thuật cần thiết để đối phó với các định nghĩa phức tạp,
nói các định nghĩa của các mối quan hệ tương đương hoặc liên tục, nó là cần thiết
để thực hành đầu tiên với các ví dụ đơn giản như định nghĩa của một hình vuông.
Chúng ta hãy bắt đầu với một định nghĩa của các định nghĩa và một số ví dụ về các
định nghĩa tốt và xấu. Một định nghĩa là một tuyên bố ngắn gọn về cơ bản
thuộc tính của một đối tượng hoặc khái niệm đó một cách rõ ràng xác định rằng
đối tượng hay khái niệm. Những từ in nghiêng cho các đặc điểm thiết yếu
của một định nghĩa tốt. Nó phải ngắn gọn và không dông dài với không liên quan
thông tin hoặc không cần thiết. Nó nên liên quan đến tính chất cơ bản,
lý tưởng những người chỉ đơn giản là được nói và có sức hấp dẫn trực quan ngay lập tức. Nó
không phải liên quan đến tài sản đó đòi hỏi nguồn gốc sâu rộng và thật khó
để làm việc với. Để được hoàn tất, một định nghĩa cần phải mô tả chính xác những
điều đang được định nghĩa ó không có gì nhiều hơn, không kém.