Excerpted from Art of Problem Solvi

Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
Chapter 1
Logarithms
As we mentioned in the BIG PICTURE in Volume 1, logarithms were originally devised to turn
multiplication and division problems into addition and subtraction ones. Let’s take a closer look at
how this works.
Suppose we are asked to find (1234)(5678). Normal multiplication would be quite tedious.
Instead, we note that for some x and y, we can write
10x = 1234 and 10 y = 5678,
so that
log 1234 = x and log 5678 = y.
Hence, (1234)(5678) = 10x 10 y = 10x+y . Taking logarithms of this last relation (remember that a
logarithm with no base indicated is assumed to be base 10), we have
log(10x 10 y ) = log(10x+y ) = x + y = log 10x + log 10 y .
In other words, log(1234)(5678) = log 1234 + log 5678. Neat! The logarithm of a product of two
numbers is the sum of the logarithms of the two numbers.
Think about why this must be so. Recall that the value of a logarithm is an exponent. We add
exponents when we multiply two numbers with the same base. As logarithms are these exponents
(x and y above), their sum must be the exponent of the product (log(1234)(5678) = x + y above).
Now to find the product, we merely look up log 1234 and log 5678 in logarithm tables, find the
sum of the two values, then find the number z from the tables such that log z = log 1234 + log 5678.
If you try this, you may find that your logarithm table only goes from 1 to 10. How can you find
log 1234? Use scientific notation, so that
log 1234 = log(1.234)(103 ) = log(1.234) + log(103 ) = 3 + log 1.234.
This relationship between multiplication and addition is not the only useful property of loga-
rithms. Using the same logic as above, division becomes subtraction:
log
1234
= log 1234 − log 5678,5678
and exponentiation becomes multiplication:
log 12345678 = 5678 log 1234.
⊳ 3
⊲
Copyrighted material

Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
4 ⊲
CHAPTER 1. LOGARITHMS
These are by no means proofs, nor are these manipulations confined to base 10 logarithms. In the
following pages, we’ll formalize these rules and introduce a few more, as well as show you how to
prove them.
Properties of Logarithms
1. loga bn = n loga b
2. loga b + loga c = loga bc
3. loga b − loga c = loga b/c
€Š€Š €Š€Š
4. loga b logc d = loga d logc b
5.
loga b
= logc b
loga c
6. logan bn = loga b
WARNING: Note that in Properties 2, 3, and 5, the bases of the logarithms added, subtracted, or
divided are the same. This is very important to understand; we can’t simplify log2 x2 + log3 y3 with
Property 2 for the same reason we can’t add exponents to evaluate the product 22 33 , as we would
for 22 23 .
You should try to prove these properties on your own, as the proofs are fairly simple. Some are
proven on page 5, and the proofs of the others are left as exercises.
EXAMPLE 1-1 Evaluate each of the following in terms of x and y given x = log2 3 and y = log2 5.
i. log2 15
Solution: Since 15 = 3(5) we think of Property 2:
log2 15 = log2 3(5) = log2 3 + log2 5 = x + y.
ii. log2 (7.5)
Solution: Since we already know log2 15, we note that 7.5 = 15/2 and think of Property 3. This is
a bit tricky, but remember that in addition to log2 3 and log2 5, we also know log2 2 = 1:
log2 (7.5) = log2 (15/2) = log2 15 − log2 2 = x + y − 1.
iii. log3 2
Solution: Since we have a different base in this than in the given quantities x and y, we look for a
property which allows us to change the base. Thus, we use Property 5:
log3 2 =
log2 2 1
= .
log2 3 x
In general, it is always true that logw z = 1/ logz w. (Can you prove it?) Remember this; you’ll
probably see it again.
Copyrighted material

Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
the ART of PROBLEM SOLVING
⊳
5
iv. log3 15
Solution: First, 15 = 3(5), and we know log3 3, so we use Property 2 to get log3 15 = log3 3+log3 5 =
1 + log3 5. Now we must find a logarithm with base 3, but we only know base 2 logarithms. This
leads us to Property 5:
log2 5y
log3 15 = 1 + log3 5 = 1 +=1+ .
log2 3x
v. log4 9
Solution: Our base is the square of the base we are given in our information, so we look to Property
6. When working problems, always try to manipulate the bases so they are the same, or as close as
possible, throughout the problem. When working with various powers of the same number, like
2 and 4, use Property 6 like this:
log4 9 = log22 32 = log2 3 = x.
vi. log5 6
Solution: Seeing a different base that is not a power of 2, we look to Property 5. Noting that 6=2(3),
we also apply Property 2:
log5 6 =
log2 6 log2 3 + log2 2 x + 1
==.
log2 5yy
We’ll now prove three of the six properties; the proofs of the other three are left as exercises. The
first step for the proofs, since we can’t do anything with the expressions as they are written, is to
write the logarithms in exponential notation. Thus, we let
x = loga b, y = loga c, and z = logb c,
from which we have
ax = b, a y = c, and bz = c.
These relationships will be used in the first two proofs below.
EXAMPLE 1-2 Prove Properties 1, 2, and 4.
i. Property 1: loga bn = n loga b.
Proof: Let w = loga bn . We want to show that w = n loga b = nx. Make sure you understand why
this will complete the proof. Putting our expression for w in exponential notation, we have aw = bn .
Since ax = b, we find aw = bn = (ax )n = axn , so xn = w. Thus, n loga b = loga bn .
ii. Property 2: loga b + loga c = loga bc.
Proof: We wish to show that loga bc = x + y. Since ax = b and a y = c, we can get the quantity x + y
by multiplying ax and a y : ax a y = ax+y = bc. Putting this last equality in logarithmic notation gives
us loga bc = x + y = loga b + loga c. (Notice how this proof is similar to our discussion of evaluating
log(1234)(5678).)
€Š€Š €Š€Š
iii. Property 4: loga b logc d = loga d logc b .
Proof: We let
x = loga b, y = logc d, w = loga d, and z = logc b.
Copyrighted material

Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
6 ⊲
CHAPTER 1. LOGARITHMS
We wish to show that xy = wz. As before, we write the above logarithmic equations exponentially.
We find
b = a x = cz d = a w = c y ,
a = c(z/x) a = c( y/w) ,
c(z/x) = c(y/w) .
Thus we have
from which we have the desired xy = wz.
yz
= ,
x w
€
Š€
Using this relation we can show that loga b
sometimes called the chain rule for logarithms.
logb c = loga c, a frequently occurring identity
Š
It is important that you realize that these proofs are not just pulled out of thin air. They involve
methods that you should learn, namely, the practice of changing logarithmic notation to exponential
notation and manipulating the exponential expressions. Make sure you understand this method
before proceeding to the exercises. After writing logarithmic expressions in exponential notation,
ask yourself what you wish to prove in terms of the exponents (x, y, etc. above). Then, manipulate
the exponential equations to complete the proof.
EXERCISE 1-1 Prove Properties 3, 5, and 6 without using Properties 1, 2, and 4.
EXERCISE 1-2 Prove the chain rule for logarithms using Property 4.
WARNING: Don’t overlook the fact that the base and the argument of all logarithms must
be positive, for sometimes devious, or careless, test writers will create problems in which some
seemingly correct solutions violate one of these rules.
EXAMPLE 1-3 Find all x such that log6 (x + 2) + log6 (x + 3) = 1.
Solution: Seeing the sum of two logarithms with the same base, we think of Property 2, which
yields
log6 (x + 2) + log6 (x + 3) = log6 (x2 + 5x + 6) = 1.
Putting this equation in exponential notation gives x2 + 5x + 6 = 6, or x2 + 5x = 0, so our solutions
are x = −5 and x = 0. You may be tempted to stop here and claim that these are both valid solutions,
but your last step in all problems involving logarithms must be checking that each solution makes
the argument and the base of all logarithms positive. In the given problem the arguments of the
initial logarithms are negative when x = −5, so this is not a valid solution. The only valid solution
is x = 0.
EXAMPLE 1-4 Find the sum
log
23991
+ log + log + • • • + log.
234100
Copyrighted material

Excerpted from Art of Problem Solving Volume 2 by Richard Rusczyk and Sandor Lehoczky
www.artofproblemsolving.com
the ART of PROBLEM SOLVING
⊳
7
Solution: Seeing the sum of logarithms we think of log x + log y = log xy. Calling our given sum
S, this identity gives
2 397 98 99
S = log
• • • ••• •••2 3 498 99 100
_1
_
= log
1
= log 10−2 = −2.100
Notice that in the product every number from 2 to 99 appears once in the numerator and once in the
denominator, so they all cancel.
EXERCISE 1-3 Find log3 10 and log3 1.2 in terms of x = log3 4 and y = log5 3.
EXERCISE 1-4 I want to use my calculator to evaluate log2 3, but my calculator only does logarithms
in base 10. Should I go find a better calculator, or should I be able to find a way to make my calculator
tell me log2 3?
EXERCISE 1-5 Show that xlogx y = y.
Problems to Solve for Chapter 1
1. Evaluate the product (log2 3)(log3 4)(log4 5)(log5 6)(log6 7)(log7 8).
2. If log 36 = a and log 125 = b, express log(1/12) in terms of a and b. (MAΘ 1992)
3. In how many points do the graphs of y = 2 log x and y = log 2x intersect

Results (Thai) 3:

ตัดตอนมาจากศิลปะของการแก้ปัญหาเล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky
www.artofproblemsolving . com
บทที่ 1
ลอการิทึม
ตามที่กล่าวไว้ในรูปภาพขนาดใหญ่ในปริมาณ 1 , ลอการิทึม เดิมทีวางแผนที่จะเปิด
ปัญหาการบวกและการลบ การคูณ และการหาร เป็นคน ขอใช้เวลามองใกล้ที่วิธีการทำงานนี้
.
ถ้าเราถูกถามจึง ND ( 1234 ) ( 5678 )การคูณแบบปกติจะค่อนข้างน่าเบื่อ
แทน เราทราบว่ามี X และ Y เราสามารถเขียน
10x = 1234 10 Y = 5678

, เพื่อเข้าสู่ระบบและเข้าสู่ระบบ 1234 = x = y
5678 ดังนั้น ( 1234 ) ( 5678 ) = 10 x 10 = 10 x y y ใช้ลอการิทึมของสุดท้ายความสัมพันธ์ ( จำได้ว่าไม่มีฐานลอการิทึม
พบจะถือว่ามีฐาน 10 ) เรามี
ล็อก ( 10x 10 Y ) = log ( 10 x y ) = x y = เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ 10
) yในคำอื่น ๆเข้าสู่ระบบ ( 1234 ) ( 5678 ) = เข้าสู่ระบบ 1234 ล็อก 5678 . เรียบร้อย ! ค่าลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสอง
คือผลรวมของลอการิทึมของตัวเลขสอง .
คิดว่าทำไมมันต้องเป็นเช่นนั้น จำได้ว่า ค่าของเลขยกกำลังเป็นผู้สนับสนุน . เราเพิ่ม
เมื่อเราคูณเลข 2 เลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน เป็นลอการิทึมเหล่านี้เลขยกกำลัง
( X และ Y ข้างต้น )ผลรวมของพวกเขาจะต้องเป็นผู้สนับสนุนของผลิตภัณฑ์ ( log ( 1234 ) ( 5678 ) = x y ข้างต้น ) .
ตอนนี้จึงหาสินค้า เราเพียงมองขึ้นไปบันทึก 1234 และเข้าสู่ระบบใน 5678 ลอการิทึมตารางถ่ายทอด ND
ผลรวมของค่าสองค่า แล้วจึง ND เบอร์ Z จากตารางดังกล่าว ที่ Z = เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ 1234 5678 .
ถ้าคุณพยายามนี้ , คุณอาจจะ จึง ที่ตารางลอการิทึมครั้งเท่านั้นไปจาก 1 ถึง 10 ทำไมคุณจึง ND
เข้าสู่ระบบ 1234 ?จึงใช้ scienti ซีโน้ต ดังนั้น
เข้าสู่ระบบ 1234 = log ( 1.234 ) ( 103 ) = log ( 1.234 ) เข้าสู่ระบบ ( 103 ) = 3 บันทึก 1.234 .
นี้ความสัมพันธ์ระหว่างการคูณและนอกจากนี้ไม่เพียงประโยชน์คุณสมบัติของ loga -
rithms . การใช้ตรรกะเดียวกันกับข้างต้น ส่วนจะลบ :


= เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ 1234 1234 − log 56785678

และกลายเป็นการคูณการยกกำลัง : 12345678 = 5678 เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ 1234 .
3

⊳⊲ลิขสิทธิ์

ตัดตอนมาจากศิลปะของการแก้ปัญหาเล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky
www.artofproblemsolving . com
4 ⊲
บทที่ 1 ลอการิทึม
เหล่านี้จะไม่ปรู๊ฟ , และ manipulations เหล่านี้หลอกลวงจึงเน็ด ฐาน 10 ลอการิทึม . ใน
หน้าต่อไปนี้ เราจะทำให้เป็นรูปเป็นร่างกฎเหล่านี้และแนะนำไม่กี่เพิ่มเติม ตลอดจนแสดงให้คุณเห็นวิธีที่จะพิสูจน์พวกเขา
.

คุณสมบัติของลอการิทึม1 . loga BN = n loga b
2 loga B loga C = loga BC
3 loga B C = − loga loga B / C
€Š€Š€Š€Š
4 loga B logc D = loga D logc B
5
loga B = B

logc loga C
6 โลแกน BN = loga B
คำเตือน : โปรดทราบว่าในคุณสมบัติของ 2 , 3 , และ 5 ฐานของลอการิทึมเพิ่ม , ลบ , หรือ
แบ่งเหมือนกัน นี้เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะเข้าใจ เราไม่สามารถลดความซับซ้อนของ LOG log3 Y3
X2 กับคุณสมบัติ 2 ด้วยเหตุผลเดียวกันเราไม่สามารถเพิ่มเลขยกกำลังเพื่อประเมินผลิตภัณฑ์ 22 33 ตามที่เราจะ
22 23 .
คุณควรพยายามที่จะพิสูจน์คุณสมบัติเหล่านี้เอง เป็นข้อพิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย บาง
พิสูจน์ในหน้า 5 และหลักฐานอื่น ๆ ด้านซ้ายเป็นแบบฝึกหัด
ตัวอย่าง 1-1 ประเมินแต่ละต่อไปนี้ในแง่ของ X และ Y ให้ x = y = LN LN 3 และ 5 .
. LOG 15
โซลูชั่น :ตั้งแต่ 15 = 3 ( 5 ) เราคิดว่าคุณสมบัติ 2 : 15 =
LN LN 3 ( 5 ) = LN LN Y .
3 = 5 x 2 LOG ( 7.5 )
: ในเมื่อเรารู้อยู่แล้วว่าโซลูชั่น 15 LOG , เราทราบว่า 7.5 = 15 / 2 และคิดว่าคุณสมบัติ 3 นี่คือ
ยุ่งยากนิดหน่อย แต่จำได้ว่านอกจาก LN LN 3 และ 5 เรายังรู้ว่า LN 2 = 1 :
LN ( 7.5 ) = LN ( 15 / 2 ) = − 2 = LN LN 15 x y − 1
3
log3 2 โซลูชั่น :เนื่องจากเรามี di ff erent ฐานในนี้มากกว่าที่ได้รับในปริมาณที่ X และ Y ที่เราค้นหา
คุณสมบัติซึ่งช่วยให้เราสามารถเปลี่ยนฐาน ดังนั้นเราจึงใช้คุณสมบัติ 5 :
2 =
log3 LN 2 1
=
LN 3 x
โดยทั่วไปมักจริงที่ logw z = 1 / logz W . ( คุณสามารถพิสูจน์ได้ ? ) จำไว้ว่า คุณจะเจอมันอีก
.
ลิขสิทธิ์

ตัดตอนมาจากศิลปะของการแก้ปัญหาเล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky
www.artofproblemsolving . com
ศิลปะของการแก้ปัญหา⊳

5
4 log3 15
โซลูชั่นแรก 15 = 3 ( 5 ) , และเรารู้ว่า log3 3 เราจึงใช้คุณสมบัติ 2 จะได้ log3 15 = log3 3 log3 5 =
1 log3 5 ตอนนี้เราต้องถ่ายทอดลอการิทึมที่มีฐานเป็นครั้งที่ 3 แต่เรารู้แค่ 2 หลักลอการิทึม . นี้ทำให้เราคุณสมบัติ 5 :


5y LNlog3 15 = 1 log3 5 = 1 = 1
9

V log4 LOG 3x โซลูชั่น : ฐานของเราคือตารางของฐานเรายกให้เป็นข้อมูลของเรา เพื่อให้เราดูทรัพย์สิน
6 เมื่อมีปัญหาในการปฏิบัติงาน พยายามที่จะจัดการฐานดังนั้นพวกเขาเป็นเดียวกันหรือใกล้เคียงเป็น
ไปได้ตลอดหรอก เมื่อทำงานกับพลังต่าง ๆ ของเบอร์เดียวกัน เช่น
2 และ 4 ใช้คุณสมบัติแบบนี้ :
6log4 9 = 32 = 3 = x log22 LN log5 6

6 โซลูชั่น : เห็น ดิ ff erent ฐานที่ไม่ใช่พลังของ 2 เราดูทรัพย์สิน 5 . สังเกตว่า 6 = 2 ( 3 ) ,
เรายังใช้คุณสมบัติ 2 :
log5 6 =
LN LN LN 6 3 2 1
=
=
LN 5yy เราจะพิสูจน์สามหกคุณสมบัติ ; หลักฐานของอีก 3 คน ที่เหลือเป็นแบบฝึกหัด
ขั้นตอนแรกจึงสำหรับการพิสูจน์เพราะเราไม่สามารถทำอะไรกับสิ่งที่เขาเขียนคือ
เขียนลอการิทึมในสัญกรณ์เลขยกกำลัง . ดังนั้นเราจึงปล่อยให้
x = loga B , Y = loga C และ Z = logb C

จากที่เรามี AX = B , Y = C และ BZ = C
ความสัมพันธ์เหล่านี้จะใช้ในจึงตัดสินใจเดินทางสองปรู๊ฟตัวอย่างด้านล่าง .
1-2 พิสูจน์คุณสมบัติ 1 , 2 , และ 4 .
. คุณสมบัติ 1 : loga BN = n loga B .
: W = loga พิสูจน์ให้เช่นกันเราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า loga B = w = n NX ให้แน่ใจว่าคุณเข้าใจว่าทำไม
นี้จะเสร็จสมบูรณ์พิสูจน์ ทำให้การแสดงออกของเราสำหรับ W ในสัญกรณ์เลขชี้กำลังเรามี AW = BN .
ตั้งแต่ Ax = b เราจึง ND AW = BN = ( ขวาน ) n = AXN ดังนั้นคริสเตียน = W . ดังนั้น , N loga B = loga BN .
2 คุณสมบัติที่ 2 : loga B loga C = loga BC .
พิสูจน์ : เราต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่า loga BC = X Y ตั้งแต่ขวาน = b และ Y = Cเราสามารถได้รับปริมาณที่ X Y
Y : ขวานโดยการคูณและขวานขวาน Y = Y = BC ให้ความเสมอภาคนี้ล่าสุดในสัญกรณ์ลอการิทึมให้
เรา loga BC = x = y loga B loga C ( สังเกตว่าหลักฐานนี้จะคล้ายกับการสนทนาของเราประเมิน
log ( 1234 ) ( 5678 ) )

€Š€Š€Š€Š III คุณสมบัติ 4 : loga B logc D = loga D logc B .
พิสูจน์ : เรา ปล่อยให้
x = loga B , Y = w = loga logc D , D , และ z =
logc Bลิขสิทธิ์

ตัดตอนมาจากศิลปะของการแก้ปัญหาเล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky
www.artofproblemsolving . com
6 ⊲
บทที่ 1 ลอการิทึม
เราต้องการแสดงให้เห็นว่า XY = Wz . เมื่อก่อนที่เราเขียนข้างบน สมการลอการิทึมชี้แจง เราจึงหา

b = x = CZ D = w = C Y ,
) = C ( Z / x ) = C ( y / W )
c ( Z / x ) = C ( y / w )
. เราจึง
ซึ่งเราได้ปรารถนา xy =
Wz .yz
=
w
x

€Š€ใช้ความสัมพันธ์ เราสามารถแสดงให้เห็นว่า loga B
บางครั้งเรียกว่ากฎโซ่ลอการิทึม .
logb C = loga C เกิดขึ้นบ่อยเอกลักษณ์
lithuania
มันเป็นสิ่งสำคัญที่คุณทราบว่า หลักฐานเหล่านี้ไม่ได้เป็นเพียงแค่ดึงออกจากอากาศบาง พวกเขาเกี่ยวข้องกับ
วิธีที่คุณควรเรียนรู้คือการปฏิบัติของการเปลี่ยนสัญกรณ์เลขชี้กำลัง
ลอการิทึมสัญกรณ์และจัดการการแสดงออกแบบเอกซ์โพเนนเชียล ให้แน่ใจว่าคุณเข้าใจวิธีนี้
ก่อนดำเนินการกับแบบฝึกหัด หลังจากเขียนนิพจน์ลอการิทึมในสัญกรณ์ชี้แจง
ถามตัวเองสิ่งที่คุณต้องการพิสูจน์ในแง่ของเลขยกกำลัง ( X , Y , ฯลฯ ข้างต้น ) แล้วจัดการกับสมการเอกซ์โพเนนเชียลให้เสร็จ

ออกกำลังกาย 1-1 พิสูจน์หลักฐาน คุณสมบัติ 3 , 5และ 6 โดยไม่ต้องใช้คุณสมบัติ 1 , 2 และ 4 .
ออกกำลังกาย 1-2 พิสูจน์กฏลูกโซ่สำหรับลอการิทึมที่ใช้คุณสมบัติ 4 .
คำเตือน : ไม่มองข้ามความจริงที่ว่าฐานและข้อโต้แย้งของลอการิทึมต้อง
เป็นบวกสำหรับบางครั้งที่คดเคี้ยว หรือประมาท นักเขียนทดสอบจะสร้างปัญหาที่แก้ไขปัญหาบางอย่าง
ดูเหมือนจะถูกละเมิดกฎข้อนึงของพวกนี้
ตัวอย่าง เช่น log6 1-3 พบทั้งหมด x ( x 2 ) log6 ( x 3 ) = 1 .
ทางออก : เห็นผลรวมของสองลอการิทึมที่มีฐานเดียวกัน เราคิดว่าคุณสมบัติ 2 ซึ่งผลผลิต

log6 ( x 2 ) log6 ( x 3 ) = log6 ( x2 5 x 6 = 1
ใส่สมการนี้ในสัญกรณ์เลขชี้กำลังให้ x2 5 x 6 = 6 หรือ X2 x 5 = 0 ดังนั้น
โซลูชั่นของเรา x = − 5 และ x = 0คุณอาจจะอยากหยุดที่นี่และอ้างว่าเหล่านี้มีทั้งใช้โซลูชั่น
แต่ขั้นตอนสุดท้ายของคุณในปัญหาทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึม ต้องตรวจสอบว่า แต่ละโซลูชั่นทำให้
อาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึมบวก ได้รับในปัญหาข้อโต้แย้งของ
ลอการิทึมเบื้องต้น ลบเมื่อ x = − 5 ดังนั้นนี้ไม่ได้เป็นวิธีที่ถูกต้อง เพียงที่ถูกต้องเป็นโซลูชั่น

x = 0ตัวอย่าง 1-4 หาผลรวม


เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ 23991 - -

- เข้าสู่ระบบ 234100 ลิขสิทธิ์

ตัดตอนมาจากศิลปะของการแก้ปัญหาเล่ม 2 โดย ริชาร์ด rusczyk แซนด ์และ lehoczky
www.artofproblemsolving . com
ศิลปะของการแก้ปัญหา⊳


7 โซลูชั่น : เห็นผลรวมของลอการิทึมที่เราคิดว่าของเข้าสู่ระบบ เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ X Y = XY . โทรของเราได้รับผลรวม
s
2 ตัวนี้จะช่วยให้คุณ 98 99
s
= เข้าสู่ระบบ- - - •••••• 2 ตอนที่ 99 100

_1 _
=
1
= เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบ 10 − 2 = − 2.100
สังเกตเห็นว่าในผลิตภัณฑ์ทุกเบอร์ 2 ถึง 99 จะปรากฏเมื่อในเศษและเมื่อใน
ตัวหารก็จะยกเลิก
ออกกำลังกาย 1-3 หา log3 10 และ log3 1.2 ในแง่ของ x และ y = = log3 4 log5 3
การออกกำลังกาย 1-4 ผมต้องการใช้เครื่องคิดเลขของฉันเพื่อประเมิน LOG 3 แต่เครื่องคิดเลขของฉันเพียงไม่ลอการิทึม
ในฐาน 10ฉันควรจะไปจึง ND เครื่องคิดเลขที่ดีหรือฉันควรจะสามารถที่จะถ่ายทอดและวิธีที่จะทำให้
เครื่องคิดเลขของฉันบอกฉัน LOG 3
ออกกำลังกาย 1-5 แสดงให้เห็นว่า xlogx Y
Y = แก้ปัญหา สำหรับบทที่ 1
1 ประเมินผลิตภัณฑ์ ( LOG ) ( log3 4 ) ( log4 5 ) ( log5 6 ) ( log6 7 ) ( log7 8 )
2 ถ้าเข้าสู่ระบบและเข้าสู่ระบบ 36 = 125 = B , บริการเข้าสู่ระบบ ( 1 / 12 ) ในแง่ของ A และ B ( MA Θ 1992 )
3วิธีการหลายจุดที่ทำกราฟของ y = 2 x และ y = 2x เข้าสู่ระบบเข้าสู่ระบบอินเตอร์เซก