At what level should teaching begin

At what level should teaching begin? The answer, of course, depends on the students’ level of thinking. I begin to explain what I mean by levels of thinking by sharing a conversation that two of my daughters, eight and nine years old at the time, had about thinking. Their question was, If you are awake, are you then busy with thinking? “No,” one said. “I can walk in the woods and see the trees and all the other beautiful things, but I do not think I see the trees. I see ferns, and I see them without thinking.” The other said, “Then you have been thinking, or you knew you were in the woods and that you saw trees, but only you did not use words.”
I judged this controversy important and asked the opinion of Hans Freudenthal, a prominent Dutch mathematician and educator. His conclusion was clear: Thinking without words is not thinking.In Structure and Insight (van Hiele 1986), I expressed this point of view, and psychologists in the United States were not happy with it. They were right: If nonverbal thinking does not belong to real thinking, then even if we are awake, we do not think most of the time.
Nonverbal thinking is of special importance; all rational thinking has its roots in nonverbal thinking, and many decisions are made with only that kind of thought. We observe some things without having any words for them. We recognize the faces of familiar persons without being able to use words to describe their faces. In my levels of geometric thinking, the “lowest” is the visual level, which begins with nonverbal thinking. At the visual level of thinking, figures are judged by their appearance. We say, “It is a square. I know that it is one because I see it is.” Children might say, “It is a rectangle because it looks like a box.”
At the next level, the descriptive level, figures are the bearers of their properties. A figure is no longer judged because “it looks like one” but rather because it has certain properties. For example, an equilateral triangle has such properties as three sides; all sides equal; three equal angles; and sym- metry, both about a line and rotational. At this level, language is important for describing shapes. However, at the descriptive level, properties are not yet logically ordered, so a triangle with equal sides is not necessarily one with equal angles.
At the next level, the informal deduction level,properties are logically ordered. They are deduced from one another; one property precedes or follows from another property. Students use properties that they already know to formulate definitions, for example, for squares, rectangles, and equilateral triangles, and use them to justify relationships, such as explaining why all squares are rectangles or why the sum of the angle measures of the angles of any triangle must be 180. However, at this level, the intrinsic meaning of deduction, that is, the role of axioms, definitions, theorems, and their converses, is not understood. My experience as a teacher of geometry convinces me that all too often, students have not yet achieved this level of informal deduction. Consequently, they are not successful in their study of the kind of geometry that Euclid created, which involves formal deduction. See van Hiele (1997) and Fuys, Geddes, and Tischler (1988) for further infor- mation about the levels.
How do students develop such thinking? I believe that development is more dependent on instruction than on age or biological maturation and that types of instructional experiences can foster, or impede, development. As I discuss at the end of this article, instruction intended to foster development from one level to the next should include sequences of activities, beginning with an exploratory phase, gradually building concepts and related language, and culminating in summary activities that help students integrate what they have learned into what they already know. The following activities illustrate this type of sequence for developing thinking at the visual level and for supporting a transition to the descriptive level.

Results (Vietnamese) 1:

Giảng dạy nên bắt đầu những gì cấp độ? Câu trả lời, tất nhiên, tùy thuộc vào các sinh viên trình độ tư duy. Tôi bắt đầu để giải thích những gì tôi có nghĩa là bởi mức độ tư duy bằng cách chia sẻ một cuộc trò chuyện mà hai con gái của tôi, tám và chín tuổi thời điểm, đã có về tư duy. Câu hỏi của họ, nếu bạn đang tỉnh táo, bạn có sau đó bận rộn với tư duy? "Không," ai nói. "Tôi có thể đi bộ trong rừng và xem các loại cây và tất cả những thứ xinh đẹp khác, nhưng tôi không nghĩ tôi thấy cây. Tôi thấy dương xỉ, và tôi nhìn thấy chúng mà không cần suy nghĩ." Người kia nói, "sau đó, bạn có suy nghĩ, hoặc bạn biết bạn đang ở trong rừng và bạn nhìn thấy cây mà chỉ bạn không sử dụng từ."Tôi phán xét tranh cãi này quan trọng và hỏi ý kiến của Hans Freudenthal, nhà toán học nổi tiếng Hà Lan và giáo dục. Kết luận của ông đã rõ ràng: suy nghĩ mà không có chữ không phải suy nghĩ. Trong cấu trúc và cái nhìn sâu sắc (van Hiele năm 1986), tôi đã bày tỏ quan điểm này, và nhà tâm lý học tại Hoa Kỳ đã không hài lòng với nó. Họ đã đúng: nếu nonverbal suy nghĩ không thuộc về tư duy thực tế, sau đó thậm chí nếu chúng ta tỉnh táo, chúng tôi không nghĩ rằng hầu hết thời gian.Nonverbal suy nghĩ là đặc biệt quan trọng; Tất cả các suy nghĩ hợp lý có nguồn gốc từ nonverbal suy nghĩ, và nhiều các quyết định được thực hiện với chỉ loại suy nghĩ. Chúng tôi quan sát một số điều mà không có bất kỳ từ nào cho họ. Chúng tôi nhận ra khuôn mặt của người quen thuộc mà không thể sử dụng các từ để mô tả khuôn mặt của họ. Ở cấp độ của tôi hình suy nghĩ, "thấp nhất" là thị giác cấp, mà bắt đầu với tư duy nonverbal. Ở cấp độ trực quan của tư duy, nhân vật được đánh giá bởi sự xuất hiện của họ. Chúng tôi nói, "đó là một hình vuông. Tôi biết rằng nó là một bởi vì tôi thấy nó." Trẻ em có thể nói, "Nó là một hình chữ nhật bởi vì nó trông giống như một hộp."Ở cấp độ tiếp theo, ở cấp độ mô tả, con số này là tượng tài sản của họ. Một con số không còn được đánh giá bởi vì "nó trông giống như một" mà là vì nó có đặc tính nhất định. Ví dụ, một tam giác đều có những đặc tính như ba mặt; Tất cả các bên bằng nhau; ba góc bằng nhau; và sym-metry, cả hai về một dòng và quay. Ở cấp độ này, ngôn ngữ là quan trọng để mô tả hình dạng. Tuy nhiên, ở cấp độ mô tả, thuộc tính không chưa hợp lý đặt hàng, do đó, một hình tam giác với mặt bằng là không nhất thiết phải là một với góc bằng nhau.Ở cấp độ tiếp theo, mức khấu trừ không chính thức, thuộc tính được yêu cầu một cách hợp lý. Họ được suy ra từ khác; một trong những tài sản đến trước hoặc sau từ bất động sản khác. Sinh viên sử dụng tài sản mà họ đã biết để xây dựng các định nghĩa, ví dụ, cho hình vuông, hình chữ nhật và hình tam giác cạnh đều nhau, và sử dụng chúng để biện minh cho mối quan hệ, chẳng hạn như giải thích lý do tại sao tất cả các hình vuông là hình chữ nhật hoặc lý do tại sao tổng hợp các biện pháp góc góc trong tam giác bất kỳ phải là 180. Tuy nhiên, ở cấp độ này, ý nghĩa nội tại của khấu trừ, có nghĩa là, vai trò của các tiên đề, định nghĩa, định lý và converses của họ, không hiểu. Kinh nghiệm của tôi như là một giáo viên của hình học thuyết phục tôi rằng tất cả các quá thường xuyên, học sinh có không chưa đạt được mức độ không chính thức khấu trừ. Do đó, họ là không thành công trong học tập của các loại hình học Euclid tạo ra, liên quan đến việc khấu trừ chính thức. Xem van Hiele (1997) và Fuys, Geddes và Tischler (1988) cho biết thêm thông tin mation về các cấp độ.Làm thế nào sinh viên phát triển suy nghĩ như vậy? Tôi tin rằng phát triển là phụ thuộc nhiều hơn vào giảng dạy hơn tuổi hoặc sinh học trưởng thành và rằng loại kinh nghiệm giảng dạy có thể nuôi dưỡng, hoặc cản trở sự phát triển. Như tôi đã thảo luận ở phần cuối của bài viết này, hướng dẫn nhằm mục đích thúc đẩy phát triển từ một mức tiếp theo nên bao gồm các trình tự của các hoạt động, bắt đầu với một giai đoạn thăm dò, dần dần xây dựng khái niệm và các ngôn ngữ có liên quan, và lên tới đỉnh điểm trong tóm tắt các hoạt động giúp học sinh tích hợp những gì họ đã học được vào những gì họ đã biết. Các hoạt động sau đây minh họa cho loại này trình tự phát triển tư duy ở cấp độ trực quan và hỗ trợ quá trình chuyển đổi để mô tả mức độ.

Results (Vietnamese) 2:

Ở cấp độ nào nên giảng dạy bắt đầu? Câu trả lời, tất nhiên, phụ thuộc vào mức độ suy nghĩ của học sinh. Tôi bắt đầu để giải thích những gì tôi có nghĩa là mức độ của suy nghĩ bằng cách chia sẻ một cuộc trò chuyện mà hai người con gái của tôi, tám và chín tuổi vào thời điểm đó, đã có về tư duy. Câu hỏi của họ là, Nếu bạn đang tỉnh táo, là bạn thì bận rộn với suy nghĩ? "Không," một người nói. "Tôi có thể đi bộ trong rừng và nhìn thấy cây cối và tất cả những điều đẹp khác, nhưng tôi không nghĩ rằng tôi nhìn thấy cây cối. Tôi thấy dương xỉ, và tôi thấy chúng mà không cần suy nghĩ. "Người kia nói:" Sau đó, bạn đã suy nghĩ, hoặc bạn biết bạn đang ở trong rừng và rằng bạn đã thấy cây, nhưng chỉ có bạn không dùng lời. "
Tôi đánh giá tranh cãi này quan trọng và hỏi ý kiến của Hans Freudenthal, một nhà toán học người Hà Lan nổi bật và giáo dục. Kết luận của ông rất rõ ràng: Tư duy không lời không phải là cấu thinking.In và Insight (van Hiele 1986), tôi bày tỏ quan điểm này, và tâm lý học tại Hoa Kỳ đã không hài lòng với nó. Họ đã đúng: Nếu suy nghĩ phi ngôn ngữ không thuộc về suy nghĩ thực tế, sau đó thậm chí nếu chúng ta tỉnh táo, chúng tôi không nghĩ rằng hầu hết thời gian.
Suy nghĩ Nonverbal là đặc biệt quan trọng; tất cả suy nghĩ hợp lý có nguồn gốc của nó trong tư duy phi ngôn ngữ, và nhiều quyết định được thực hiện chỉ với duy nhất mà suy nghĩ. Chúng ta quan sát một số những điều mà không phải bất kỳ từ nào cho họ. Chúng tôi nhận ra khuôn mặt của người quen mà không thể sử dụng từ ngữ để miêu tả khuôn mặt của họ. Trong mức độ suy nghĩ của tôi hình học, các "thấp nhất" là mức thị giác, mà bắt đầu với tư duy phi ngôn ngữ. Ở cấp độ thị giác suy nghĩ, con số này được đánh giá bởi sự xuất hiện của họ. Chúng ta nói, "Đó là một hình vuông. Tôi biết rằng nó là một bởi vì tôi thấy nó được. "Trẻ em có thể nói," Đó là một hình chữ nhật vì nó trông giống như một hộp. "
Ở cấp độ tiếp theo, mức độ mô tả, con số này là người mang tài sản của mình. Một con số không còn được đánh giá bởi vì "nó trông giống như một" mà vì nó có tính chất nhất định. Ví dụ, một tam giác đều có các đặc tính như ba mặt; tất cả các bên bằng; ba góc bằng nhau; và sym- metry, cả về một dòng và luân phiên. Ở cấp độ này, ngôn ngữ là quan trọng để mô tả hình dạng. Tuy nhiên, ở mức độ mô tả, tài sản này chưa hợp lý đặt, nên một tam giác có cạnh bằng nhau không nhất thiết phải là một với góc bằng nhau.
Ở cấp độ tiếp theo, mức trích không chính thức, thuộc tính được một cách logic ra lệnh. Chúng được rút ra từ một người khác; một tài sản trước hoặc sau từ bất động sản khác. Học sinh sử dụng tài sản mà họ đã biết xây dựng các định nghĩa, ví dụ, cho hình vuông, hình chữ nhật, và tam giác đều, và sử dụng chúng để biện minh cho các mối quan hệ, chẳng hạn như giải thích lý do tại sao tất cả các hình vuông là hình chữ nhật hay tại sao tổng các biện pháp góc của các góc của bất kỳ hình tam giác phải là 180. Tuy nhiên, ở cấp độ này, ý nghĩa nội tại của trích, đó là, vai trò của các tiên đề, ​​định nghĩa, định lý, và được trò chuyện của họ, là không hiểu. Kinh nghiệm của tôi là một giáo viên của hình học thuyết phục tôi rằng tất cả các quá thường xuyên, sinh viên chưa đạt được mức độ khấu trừ phi chính thức. Do đó, họ không thành công trong nghiên cứu của họ về loại hình học Euclid tạo ra, trong đó có việc trích chính thức. Xem van Hiele (1997) và Fuys, Geddes, và Tischler (1988) để biết thông tin thêm về các cấp.
Làm thế nào để học sinh phát triển tư duy như vậy? Tôi tin rằng sự phát triển đó là phụ thuộc vào hướng dẫn hơn vào tuổi trưởng thành hoặc sinh học và các loại kinh nghiệm giảng dạy có thể thúc đẩy hoặc cản trở, phát triển. Như tôi đã thảo luận ở phần cuối của bài viết này, hướng nhằm thúc đẩy phát triển từ một cấp độ tiếp theo nên bao gồm chuỗi các hoạt động, bắt đầu với một giai đoạn thăm dò, từng bước xây dựng các khái niệm và ngôn ngữ có liên quan, và đỉnh điểm là hoạt động tóm tắt giúp học sinh hòa nhập gì đã học vào những gì họ đã biết. Các hoạt động sau đây minh họa loại này trình tự phát triển tư duy ở mức độ trực quan và hỗ trợ cho quá trình chuyển đổi với mức độ mô tả.