Language, as well as thoughtfully c

Language, as well as thoughtfully chosen materials, plays an important role in the development of geometric thinking. It is essential that children talk about their linguistic associations for words and symbols and that they use that vocabulary. Such verbalization requires students to articulate consciously what might otherwise be vague and undeveloped ideas. It can also serve to reveal immature or misconceived ideas. Initially, children should be encouraged to express their geometric understandings in their own terms—“corner” for angle, “slanty” for the sides of a parallelogram, “straight” for parallel lines. Gradually, however, children should be introduced to standard terminology and encouraged to use it precisely. Just because children are using a word does not mean they attach the same meaning to it as their listener. For example, some children say that … is a right angle but that … is a left angle. Some say this shape
( ) is a square but when turned 45 degrees ( ), it no longer
is one. In each example, children have incorrectly focused on orientation as a determining characteristic. (Perhaps they were shown figures only in “standard” position.) They are interpreting the terms right angle and square to have a narrow meaning. Children who operate with notions like these are limiting their development. Through conversations, teachers can un¬cover misconceptions and incomplete notions as well as build on correct perceptions.
The teacher’s use of language is also important. For example, in work on level 1, terms such as all, some, always, never, sometimes should be modeled and encouraged. Level-2 phrases include “it follows that. . and “if. . ., then. . . .” Level 3 would use and stress the meanings of axiom, postulate, theorem, converse, necessary and sufficient, and so on.
Teacher questioning is a crucial factor in directing student thinking. At all levels, asking children how they “know” is important. It is not enough, for example, for students at level 2 to be asked what is the sum of the angles of a pentagon. They should be challenged to explain why and to think about their explanation—could it be shown another way? “Raising appropriate questions, allowing a sufficient response-time and discussing the quality of the answers are methods that take into account level of thinking” (Geddes et al. 1985, p. 242).
For growth to occur, it is essential to match instruction with the student’s level. Thus teachers must learn to identify students’ levels of geometric thought. Because the nature of a student’s geometric explanations reflects that student’s level of thinking, questioning is an important assessment tool. As an example, consider responses to the questions “What type of figure is this?
How do you know?” Students at each level are able to respond
“rectangle” to the first question. (If a student does not know how to name the figure, he or she is not at level 0 for rectangles.) Examples of level- specific responses to the second question are given below. In parentheses is a brief explanation of why the statement reflects the assigned level.
Level 0: “It looks like one!” or “Because it looks like a door.” (The ' answer is based on a visu.-i model.)
Level 1: “Four sides, closed, two long sides, two shorter sides, opposite sides parallel, four right angles . . (Properties are listed; re-dundancies are not seen.)
Level 2: “It is a parallelogram with right angles.” (The student attempts to give a minimum number of properties. If queried, she would indicate that she knows it is redundant in this example to say that opposite sides are congruent.)
Level 3: “This can be proved if I know this figure is a parallelogram and that one angle is a right angle.” (The student seeks to prove the fact deductively.)
Additional examples of level-specific student behaviors can be found in An Investigation of the van Hiele Model of Thinking in Geometry among Adolescents (Geddes et al. 1985, pp. 62-78) and in “Characterizing the van Hiele Levels of Development in Geometry” (Burger and Shaughnessy 1986, pp. 41-45).
The model of geometric thought and the phases of learning developed by the van Hieles propose a means for identifying a student’s level of geometric maturity and suggest ways to help students to progress through the levels. Instruction rather than maturation is highlighted as the most significant factor contributing to this development. Research has supported the accu¬racy of the model for assessing student understandings of geometry (Burger 1985; Burger and Shaughnessy 1986; Geddes et al. 1982; Geddes, Fuys, and Tischler 1985; Mayberry 1981; Shaughnessy and Burger 1985; Usiskin 1982). It has also shown that materials and methodology can be designed to match levels and to promote growth through the levels (Burger 1985; Burger and Shaughnessy 1986; Geddes et al. 1982; Geddes, Fuys, and Tischler 1985; Shaughnessy and Burger 1985).

Results (Vietnamese) 2:

Ngôn ngữ, cũng như nguyên liệu trầm tư lựa chọn, đóng một vai trò quan trọng trong sự phát triển tư duy hình học. Nó là điều cần thiết mà trẻ em nói chuyện về các hiệp hội ngôn ngữ của họ cho từ và các biểu tượng và rằng họ sử dụng từ vựng đó. Lời kể như vậy đòi hỏi học sinh có ý thức rõ những gì nếu không có thể là ý tưởng mơ hồ và chưa phát triển. Nó cũng có thể phục vụ để lộ những ý tưởng chưa trưởng thành và sai lầm. Ban đầu, trẻ em cần được khuyến khích thể hiện sự hiểu biết hình học của họ trong terms- riêng của họ "góc" cho góc, "slanty" cho các mặt của một hình bình hành, "thẳng" cho đường thẳng song song. Dần dần, tuy nhiên, trẻ em cần được giới thiệu với các thuật ngữ tiêu chuẩn và khuyến khích sử dụng nó một cách chính xác. Chỉ vì trẻ em đang sử dụng một từ không có nghĩa là họ đính kèm cùng một ý nghĩa với nó là người biết lắng nghe họ. Ví dụ, một số trẻ em nói rằng ... là một góc bên phải, nhưng mà ... là một góc trái. Một số người nói hình dạng này
() là một hình vuông, nhưng khi quay 45 độ (), nó không còn
là một. Trong mỗi ví dụ, trẻ em đã sai tập trung vào định hướng như một đặc điểm xác định. (Có lẽ họ đã thể hiện con số này chỉ ở vị trí "chuẩn".) Chúng được giải thích các điều khoản góc phải và vuông để có một ý nghĩa hẹp. Những trẻ em hoạt động với các khái niệm như thế này đang hạn chế sự phát triển của họ. Qua cuộc trò chuyện, giáo viên có thể un¬cover quan niệm sai lầm và những quan niệm không đầy đủ cũng như xây dựng trên nhận thức đúng.
Sử dụng của giáo viên ngôn ngữ cũng là quan trọng. Ví dụ, trong công việc vào cấp 1, thuật ngữ như tất cả, một số, luôn luôn, không bao giờ, đôi khi nên được mô hình và khuyến khích. Level-2 cụm từ bao gồm "nó sau đó. . và "nếu. . ., sau đó. . . ". Level 3 sẽ sử dụng và căng thẳng về ý nghĩa của tiên đề, ​​định đề, định lý, trò chuyện, cần và đủ, và như vậy.
Câu hỏi của giáo viên là một yếu tố rất quan trọng trong việc chỉ đạo tư duy học sinh. Tại tất cả các cấp, yêu cầu trẻ em làm thế nào họ "biết" là rất quan trọng. Nó không phải là đủ, ví dụ, cho sinh viên ở mức 2 để được yêu cầu tổng các góc của một hình ngũ giác là gì. Họ cần được thử thách để giải thích lý do tại sao và suy nghĩ về lời giải thích, có thể họ nó được hiển thị một cách khác? "Nâng cao câu hỏi thích hợp, cho phép đủ thời gian đáp ứng và thảo luận về chất lượng của các câu trả lời được các phương pháp đưa vào cấp độ tài khoản của suy nghĩ" (Geddes et al. 1985, p. 242).
Đối với tăng trưởng xảy ra, nó là điều cần thiết để phù hợp với hướng dẫn với trình độ của học sinh. Vì vậy giáo viên phải học để xác định mức độ suy nghĩ hình học của học sinh. Bởi vì bản chất của giải hình học của học sinh phản ánh trình độ của học sinh mà suy nghĩ, câu hỏi là một công cụ đánh giá quan trọng. Như một ví dụ, hãy xem xét trả lời cho câu hỏi "Điều gì loại hình là thế này?
Làm thế nào để bạn biết?" Học sinh ở mỗi cấp có thể đáp ứng
"hình chữ nhật" với câu hỏi đầu tiên. (Nếu một học sinh không biết làm thế nào để đặt tên cho con số này, người đó không phải là ở mức 0 cho hình chữ nhật.) Ví dụ về phản ứng cụ thể level- cho câu hỏi thứ hai được đưa ra dưới đây. Trong ngoặc đơn là một lời giải thích ngắn gọn vì sao các báo cáo phản ánh mức độ được giao.
Cấp 0: "Nó trông giống như một!" Hoặc "Bởi vì nó trông giống như một cánh cửa." (The 'câu trả lời dựa trên một mô hình visu.-i.)
Level 1: "bốn bên, đóng cửa, hai bên dài, hai bên ngắn hơn, cạnh đối diện song song, bốn góc vuông. . (Thuộc tính được liệt kê; tái dundancies không nhìn thấy.)
Level 2: (Học sinh cố gắng để cung cấp cho một số lượng tối thiểu của các thuộc tính Nếu truy vấn, cô ấy sẽ cho thấy rằng cô biết điều đó là không cần thiết "Nó là một hình bình hành với góc bên phải.". trong ví dụ này để nói rằng bên đối diện là đồng dư).
Level 3: "Điều này có thể được chứng minh nếu tôi biết con số này là một hình bình hành và một góc độ là một góc bên phải." (học sinh tìm cách chứng minh một thực tế suy luận).
bổ sung ví dụ về hành vi của học sinh cấp độ cụ thể có thể được tìm thấy ở An điều tra của van Hiele Mô hình Tư duy trong hình học trong thanh thiếu niên (Geddes et al. 1985, pp. 62-78) và trong "đặc trưng Levels van Hiele phát triển trong hình học" (Burger và Shaughnessy 1986, pp. 41-45).
mô hình của tư duy hình học và các giai đoạn của việc học phát triển bởi các van Hieles đề xuất một phương tiện để xác định mức độ của học sinh trưởng thành hình học và gợi ý những cách để giúp học sinh tiến bộ thông qua các cấp . Hướng dẫn chứ không phải là trưởng thành được đánh dấu như là yếu tố quan trọng nhất góp phần vào sự phát triển này. Nghiên cứu đã hỗ trợ accu¬racy của mô hình để đánh giá sự hiểu biết của học sinh về hình học (Burger 1985; Burger và Shaughnessy 1986; Geddes et al 1982;. Geddes, Fuys, và Tischler 1985; Mayberry 1981; Shaughnessy và burger 1985; Usiskin 1982) . Nó cũng cho thấy rằng các tài liệu và phương pháp có thể được thiết kế để phù hợp với các cấp, thúc đẩy tăng trưởng thông qua các cấp (Burger 1985; Burger và Shaughnessy 1986; Geddes et al 1982;. Geddes, Fuys, và Tischler 1985; Shaughnessy và burger 1985).