5.1 OVERVIEWThe Integer Linear Prog

5.1 OVERVIEW
The Integer Linear Programming module of The Management Scientist employs a branch and bound solution procedure. It can solve all-integer, mixed-integer, and 0–1 integer linear programs with up to 100 variables and 50 constraints. However, problems with large numbers of integer variables may solve slowly. Just as with the Linear Programming module, the number of deci¬sion variables that can be used must allow for slack, surplus, and artificial variables that are added automatically by the Integer Linear Programming module.
Since the Linear Programming module and the Integer Linear Program¬ming module are the same with respect to creating, retrieving, saving, and editing a problem, we will focus our attention on the differences associated with solving integer linear programs. Readers unfamiliar with the Linear Pro¬gramming Module of The Management Scientist should review Chapter 2 before continuing with this chapter.
5.2 AN EXAMPLE PROBLEM:
THE ALL-INTEGER CASE
Eastborne Realty currently has $2,000,000 available to purchase town¬houses or apartment buildings. Each townhouse can be purchased for the price of $282,000, but there are only five town¬houses available for purchase at this time. Each apartment building sells for $400,000, and the developer has agreed to build as many units as Eastborne would like to purchase.
Eastborne’s property manager is free to devote 140 hours per month to these investments. Each townhouse will require 4 hours of the prop¬erty manager’s time each month, while each apartment building will require 40 hours per month. The yearly cash flow (after deducting mortgage pay¬ments and operating expenses) is estimated at $10,000 per townhouse and $15,000 per apartment building. Eastborne would like to allocate its invest¬ment funds to townhouses and apartment buildings in order to maximize the yearly cash flow.
To develop an appropriate mathematical model, let us introduce the fol¬lowing decision variables:
T = number of townhouses purchased
A = number of apartment buildings purchased
The objective function, measuring cash flow in thousands of dollars, can be written as
max 10T + 15A
There are three constraints that must be satisfied:

282T + 400A  2000 Funds available ($1000s)
4T + 40A  140 Manager’s time (hours)
T  5 Townhouses available
Adding the nonnegativity requirements we obtain a linear programming model involving the two variables and three constraints. This model could be solved using the Linear Programming module described in Chapter 2; the optimal linear programming solution is T = 2.479 and A = 3.252, with an objective function value of $73,574.
However, since fractional values do not make any sense in the context of the problem, the standard linear programming approach to this problem is not appropriate. What we need to do is add the requirement that both T and A are restricted to integer values. Doing this, we obtain the following all-integer linear programming model:
max 10T + 15A
s.t.
282T + 400A  2000 Funds available ($1000s)
4T + 4A  140 Manager’s time (hours)
T  5 Townhouses available
T, A  0 and integer
5.3 CREATING AND SOLVING A PROBLEM
To solve the Eastborne Realty problem, we begin by selecting the Integer Linear Programming module and choosing New from the File menu; the Problem Features dialog box will then appear. Figure 5.1 shows the Problem Features Dialog box after entering 2 for the Number of Decision Variables, 3 for the Number of Constraints, and choosing Maximize for the Optimization Type. After clicking OK, we obtain the data input screen shown in Figure 5.2. Note that the two decision variables have initially been given the names X1 and X2, and that the three constraints are labeled Constraint 1, Constraint 2, and Constraint 3.

Results (Indonesian) 2:

5.1 GAMBARAN
The Integer Linear Programming modul Manajemen Scientist mempekerjakan cabang dan prosedur solusi terikat. Hal ini dapat memecahkan semua-bulat, mixed-integer, dan program 0-1 bilangan bulat linear sampai dengan 100 variabel dan 50 kendala. Namun, masalah dengan sejumlah besar variabel bilangan bulat dapat memecahkan perlahan. Sama seperti dengan modul Linear Programming, jumlah variabel deci¬sion yang dapat digunakan harus memungkinkan untuk slack, surplus, dan variabel buatan yang ditambahkan secara otomatis oleh modul Integer Linear Programming.
Sejak modul Pemrograman Linear dan Program Linear Integer ¬ming modul yang sama sehubungan dengan menciptakan, mengambil, menyimpan, dan mengedit masalah, kita akan memusatkan perhatian kita pada perbedaan terkait dengan pemecahan program linier integer. Pembaca terbiasa dengan Linear Pro¬gramming Modul Manajemen Scientist harus meninjau Bab 2 sebelum melanjutkan dengan bab ini.
5.2 AN MASALAH CONTOH:
THE ALL-INTEGER CASE
Eastbourne Realty saat ini memiliki $ 2.000.000 tersedia untuk membeli town¬houses atau bangunan apartemen. Setiap townhouse dapat dibeli untuk harga $ 282.000, tapi hanya ada lima town¬houses tersedia untuk pembelian pada saat ini. Setiap gedung apartemen dijual seharga $ 400.000 dan pengembang telah sepakat untuk membangun sebanyak unit sebanyak Eastbourne ingin membeli.
Manajer properti Eastbourne ini bebas untuk mencurahkan 140 jam per bulan untuk investasi ini. Setiap townhouse akan membutuhkan 4 jam dari waktu prop¬erty manajer setiap bulan, sedangkan masing-masing gedung apartemen akan membutuhkan 40 jam per bulan. Arus kas tahunan (setelah dikurangi pay¬ments hipotek dan biaya operasional) diperkirakan sebesar $ 10.000 per townhouse dan $ 15.000 per gedung apartemen. Eastbourne ingin mengalokasikan dana invest¬ment untuk townhouse dan bangunan apartemen untuk memaksimalkan arus kas tahunan.
Untuk mengembangkan model matematika yang sesuai, mari kita memperkenalkan variabel keputusan fol¬lowing:
T = jumlah townhouse dibeli
A = jumlah dari bangunan apartemen yang dibeli
fungsi tujuan, mengukur arus kas dalam ribuan dolar, dapat ditulis sebagai
max 10T + 15A
Ada tiga kendala yang harus dipenuhi:

282T + 400A  2000 Dana yang tersedia ($ 1000)
4T + 40A  140 Manajer waktu (jam)
T  5 Townhouses tersedia
Menambahkan persyaratan nonnegativity kita mendapatkan model pemrograman linear melibatkan dua variabel dan tiga kendala. Model ini bisa diselesaikan dengan menggunakan Pemrograman modul Linear dijelaskan dalam Bab 2; solusi pemrograman linear optimal adalah T = 2,479 dan A = 3,252, dengan nilai fungsi tujuan dari $ 73.574.
Namun, karena nilai-nilai pecahan tidak masuk akal dalam konteks masalah, standar pendekatan pemrograman linear untuk masalah ini tidak tepat . Apa yang perlu kita lakukan adalah menambahkan persyaratan bahwa kedua T dan A dibatasi untuk nilai integer. Melakukan hal ini, kita mendapatkan semua-bulat model pemrograman linear berikut:
max 10T + 15A
st
282T + 400A  2000 Dana yang tersedia ($ 1000)
4T + 4A  waktu 140 Manajer (jam)
T  5 Townhouses tersedia
T, A  0 dan integer
5.3 PEMBUATAN dAN pEMECAHAN mASALAH
Untuk mengatasi masalah Eastbourne Realty, kita mulai dengan memilih modul Integer Linear Programming dan memilih New dari menu file; Masalah Fitur kotak dialog akan muncul. Gambar 5.1 menunjukkan Masalah Fitur kotak dialog setelah memasuki 2 untuk Jumlah Variabel Keputusan, 3 untuk Jumlah Kendala, dan memilih Maximize untuk Optimasi Type. Setelah mengklik OK, kita memperoleh layar input data yang ditunjukkan pada Gambar 5.2. Perhatikan bahwa kedua variabel keputusan telah awalnya diberi nama X1 dan X2, dan bahwa tiga kendala diberi label Kendala 1, Kendala 2, dan Kendala 3.