13.5 PROBABILISTIC INVENTORY MODELS

13.5 PROBABILISTIC INVENTORY MODELS
In most situations, companies that make ordering and production decisions face uncertainty about the future. Probably the most common and important element of uncertainty is
customer demand, but there can be others. For example, there can be uncertainty in the
amount of lead time between placement and receipt of an order. A company that faces uncertainty has three basic options. First, it can use best guesses for uncertain quantities and
proceed according to one of the deterministic models we developed in the previous section
(or according to one of the many other deterministic models that exist in the literature).
Second, it can develop an analytical (nonsimulation) model to deal with the uncertainty.
The advantage to such a model is that we can calculate bottom line results, such as expected cost, and then use Solver to optimize. The disadvantage is that these analytical
models tend to be mathematically complex. The third possibility is to develop a simulation model. The advantage of a simulation model is that it is relatively easy to develop,
13.5 Probabilistic Inventory Models 759
Why or why not? Then redo the SolverTable again,
this time trying even larger unit shortage costs. How
do the results in this case compare to the results from
the basic EOQ model with no shortages allowed?
7. In Example 13.4, we showed why a company might
invest to reduce its setup cost. It all depends on how
much this investment costs, as specified (in the model)
by the cost of a 10% reduction in the setup cost. Use
SolverTable to see how the results change as this cost
of a 10% reduction varies. You can choose the range
for this cost that makes the results “interesting.”
Within your range, does the lower limit on setup cost
($50) ever become a binding constraint?
8. Modify the synchronized ordering model in Example
13.5 slightly so that you can use a two-way SolverTable
on the fixed costs. Specifically, enter a formula in cell
B9 so that the fixed cost of ordering kings alone is equal
to the fixed cost of ordering queens alone. Then let the
two inputs for SolverTable be the fixed cost of ordering
queens alone and the joint fixed cost of ordering both
kings and queens together. Let these vary over a reasonable range, but make sure that the first input is less than
the second, and the second input is less than twice the
first. (Otherwise, the model wouldn’t be realistic.)
Capture the changing cells and the sum of annual setup
and holding costs as SolverTable outputs. Describe your
findings in a brief report.
Skill-Extending Problems
9. In the basic EOQ model in Example 13.1, suppose that
the fixed cost of ordering and the unit purchasing cost
are both multiplied by the same factor f. Use SolverTable
to see what happens to the optimal order quantity and the
corresponding annual fixed order cost and annual holding cost as fvaries from 0.5 to 5 in increments of 0.25.
Could you have discovered the same results algebraically, using equations (13.2) through (13.4)?
10. In the basic EOQ model, revenue is often omitted
from the model. The reasoning is that all demand will
be sold at the given selling price, so revenue is a fixed
quantity that is independent of the order quantity.
Change that assumption as follows. Make selling price
a decision variable, which must be between $110 and
$150. Then assume that annual demand is a nonlinear
function of the selling price p: Annual Demand

497000p1.24. (This implies a constant elasticity of approximately 1.24 for the demand curve.) Modify the
model in Example 13.1 as necessary and then use
Solver to find the optimal selling price and order quantity. What are the corresponding demand and profit?
Which appears to affect profit more in this model,
order quantity or selling price?
11. In the quantity discount model in Example 13.2, the
minimum total annual cost is region 3 is clearly the
best. Evidently, the larger unit purchase costs in the
other two regions make these two regions unattractive.
When would a switch take place? To answer this question, change the model slightly. First, change the fixed
cost of ordering to $40. Second, keep the unit cost in
region 3 at $26, but change the unit costs in regions 1
and 2 to $26  2k and $26  k, where you can let k
vary. (Currently, k is $2.) Use a two-way SolverTable,
with k varied over some appropriate range to see how
small k must be before it is optimal to order from region 1 or 2. What region is the optimal ordering quantity in if there is no price break at all (k
0). How do
you reconcile this with your SolverTable findings?
regardless of the complexity of the problem. The disadvantage is that it can be difficult, or
at least time-consuming, to find optimal ordering policies from a simulation.5
We already examined one probabilistic inventory model in Chapter 11, the newsvendor model. The essence of a newsvendor model is that a company must place an order for
some product exactly once and then wait to see how large the demand is. If the demand is
larger than expected, the company loses sales it could have made. If the demand is smaller
than expected, the company must dispose of the excess items or sell them at a markeddown price. This presents a classical trade-off between ordering too few and ordering too
many. We used simulation in Chapter 11 to analyze this problem. We now see how it can
be solved analytically.
Besides the newsvendor model, we also examine a continuous review model where a
company orders a product repeatedly through time. The model we examine is basically the
same EOQ model as in the previous section but with one important difference. Now the demand during any period of time is random, and only its probability distribution is known.
This is more realistic, but it complicates the analysis. We assume that the company uses an
(R,Q) ordering policy, which is used by many companies. This continuous review policy is
determined by two numbers, R and Q. The value R is the reorder point. When the company’s inventory level drops to R, an order is placed. The order quantity Q specifies the
amount to order each time an order is placed.
Newsvendor Model
The newsvendor model is one of the simplest probabilistic inventory models, but it is also a
very important one.6 It occurs whenever a company must place a one-time order for a product and then wait to see the demand for the product. The assumption is that after this demand
occurs, the product is no longer valuable. This could be the case for a daily newspaper (who
wants yesterday’s newspaper?), a calendar (who wants a 2005 calendar after 2005?), a fashion product that tends to go out of style after the current “season” (what woman wants last
year’s dress styles?), and so on. Given the single chance to order, the company needs to balance the cost of ordering too much versus the cost of not ordering enough.
To put this problem in a fairly general setting, we let cover and cover, respectively, be the
cost of having 1 more unit or 1 fewer unit on hand than demand. For example, if demand turns
out to be 100 units, cover is the cost if we order 101 units, whereas cunder is the cost if we order
99 units. Each of these is a per unit cost, so if we order, say, 110 units, the cost is 10cover,
whereas if we order 90 units, the cost is 10cunder. The example discussed shortly indicates how
we find c
over and cunder from given monetary inputs. For now, we assume they are known.
Now let D be the random demand. We assume that D has a cumulative probability distribution F(x), so that for any potential demand x, F(x) is the probability P(D  x) that D is
less than or equal to x. In general, this distribution needs to be estimated, probably from historical data on demands for this product or similar products. Then the best order quantity balances the cost of understocking times the probability of understocking with the cost of overstocking times the probability of overstocking. As an example, suppose the unit cost of
understocking, cunder, is four times as large as the unit cost of overstocking, cover. Then it
seems reasonable (and it can be proved) that we need the probability of understocking to be
760 Chapter 13 Inventory Models
5 Fortunately, this is less true now than it used to be. Palisade, for example, has developed a software package
called RISKOptimizer that uses a genetic algorithm to optimize a specified output in a simulation model. This
software is included with the Palisade suite that is bundled with the book. We refer to Winston (1999) for a discussion of simulation models that use RISKOptimizer.
6 The article by Pfeifer et al. (2001) contains an interesting discussion of three alternative methods to analyze the
newsvendor problem: decision trees, simulation, and the critical fractile analysis discussed here. Although the authors provide pros and cons of each method, they appear to prefer simulation.
1
4 as large as the probability of overstocking. If Q is the order quantity, the probability of
overstocking is P(D  Q)
F(Q), and the probability of understocking is 1 minus this,
1  F(Q).7 Because we want the probability of understocking to be 1/4 as large as the probability of overstocking, we set 1  F(Q)
(1
4)F(Q) and solve for F(Q) to obtain F(Q)
4
5.
A similar argument for any values of cover and cunder leads to the following equation that
the optimal order quantity Q must satisfy:
F(Q)

c
over
c
u
nde
rc
under
 (13.8)
The fraction on the right side of this equation is called the critical fractile. This fraction
determines the optimal order quantity through an examination of the demand distribution.
For example, if the cost of understocking is four times as large as the cost of overstocking,
then the critical fractile is 4/5, so there is an 80% chance that demand is less than or equal
to the optimal order quantity value. For any particular demand distribution, we can then appeal to the RISKview program, built-in Excel functions, ta

Results (Vietnamese) 2:

13.5 MÔ HÌNH KHO xác suất
Trong hầu hết các trường hợp, các công ty đó đưa ra quyết định đặt hàng và sản xuất phải đối mặt với sự không chắc chắn về tương lai. Có lẽ là nguyên tố phổ biến nhất và quan trọng của sự không chắc chắn là
nhu cầu của khách hàng, nhưng có thể có những người khác. Ví dụ, có thể có sự không chắc chắn trong
khoảng thời gian dẫn giữa vị trí và nhận một đơn đặt hàng. Một công ty phải đối mặt với sự không chắc chắn rằng có ba tùy chọn cơ bản. Đầu tiên, nó có thể sử dụng những dự đoán cho số lượng chắc chắn và
tiến hành theo một trong các mô hình xác định chúng tôi phát triển trong phần trước
(hoặc theo một trong nhiều mô hình xác định khác nhau tồn tại trong văn học).
Thứ hai, nó có thể phát triển một phân tích (nonsimulation) mô hình để đối phó với những bất ổn.
Lợi thế cho một mô hình như vậy là chúng ta có thể tính toán kết quả dòng dưới cùng, chẳng hạn như chi phí dự kiến, và sau đó sử dụng Solver để tối ưu hóa. Điểm bất lợi là những phân tích
mô hình có xu hướng toán học phức tạp. Khả năng thứ ba là phát triển một mô hình mô phỏng. Lợi thế của một mô hình mô phỏng là nó là tương đối dễ dàng để phát triển,
13,5 Probabilistic Models Inventory 759
Tại sao hoặc tại sao không? Sau đó làm lại các SolverTable một lần nữa,
lần này cố gắng chi phí thiếu hụt đơn vị thậm chí còn lớn hơn. Cách
làm các kết quả trong trường hợp này để so sánh các kết quả từ
các mô hình EOQ cơ bản không có sự thiếu hụt cho phép?
7. Trong ví dụ 13.4, chúng tôi đã cho thấy lý do tại sao một công ty có thể
đầu tư để giảm chi phí thiết lập của nó. Tất cả phụ thuộc vào cách
này nhiều chi phí đầu tư, theo quy định (trong mô hình)
do chi phí giảm 10% trong chi phí thiết lập. Sử dụng
SolverTable để xem làm thế nào kết quả thay đổi khi chi phí này
của giảm 10% thay đổi. Bạn có thể chọn phạm vi
cho chi phí này mà làm cho kết quả "thú vị."
Trong phạm vi của bạn, không giới hạn dưới về chi phí thiết lập
($ 50) bao giờ trở thành một hạn chế ràng buộc?
8. Sửa đổi các mô hình đặt hàng đồng bộ trong Ví dụ
13.5 hơi để bạn có thể sử dụng một hai chiều SolverTable
trên các chi phí cố định. Cụ thể, nhập một công thức trong ô
B9 do đó chi phí cố định của lệnh vua một mình là bình đẳng
cho các chi phí cố định đặt hàng queens một mình. Sau đó để cho
hai đầu vào cho SolverTable là chi phí cố định đặt hàng
queens một mình và các chi phí cố định của doanh đặt hàng cả hai
vị vua và hoàng hậu cùng nhau. Hãy để những biến đổi trong một phạm vi hợp lý, nhưng chắc chắn rằng các đầu vào đầu tiên là ít hơn so với
thứ hai, và đầu vào thứ hai ít hơn hai lần
đầu tiên. (Nếu không, các mô hình sẽ không được thực tế.)
Chụp các tế bào thay đổi và tổng của các thiết lập hàng năm
và chi phí lưu giữ như là kết quả đầu ra SolverTable. Mô tả của bạn
phát hiện trong một báo cáo tóm tắt.
Skill-Mở rộng vấn đề
9. Trong mô hình EOQ cơ bản trong ví dụ 13.1, giả sử rằng
các chi phí cố định của việc đặt hàng và chi phí đơn vị thu mua
đều được nhân với hệ số cùng f. Sử dụng SolverTable
để xem những gì sẽ xảy ra với số lượng tối ưu tự và các
chi phí để cố định tương ứng hàng năm và chi phí tổ chức hàng năm như fvaries 0,5-5 trong gia số 0,25.
Ông có thể đã phát hiện ra cùng một kết quả đại số, bằng cách sử dụng phương trình (13.2) thông qua (13.4 )?
10. Trong mô hình EOQ cơ bản, doanh thu thường được bỏ qua
từ các mô hình. Lý do là tất cả các nhu cầu sẽ
được bán với giá bán được đưa ra, do đó doanh thu là một cố định
số lượng mà là độc lập với số lượng đặt hàng.
Thay đổi giả định đó như sau. Hãy bán giá
một biến quyết định, mà cần phải có giữa $ 110 và
$ 150. Sau đó giả định rằng nhu cầu hàng năm là một phi tuyến
chức năng của giá bán p: Nhu cầu hàng năm?
497000p 1,24?. (Điều này có nghĩa một hằng số đàn hồi của khoảng? 1.24 cho đường cầu.) Sửa đổi các
mô hình trong ví dụ 13.1 khi cần thiết và sau đó sử dụng
Solver để tìm ra tối ưu giá bán và số lượng đặt hàng. Các nhu cầu tương ứng và lợi nhuận? Là gì
Mà dường như ảnh hưởng đến lợi nhuận nhiều hơn trong mô hình này,
số lượng đặt hàng hay giá bán?
11. Trong mô hình giảm số lượng trong Ví dụ 13.2, các
tổng chi phí hàng năm tối thiểu là 3 khu vực rõ ràng là
tốt nhất. Rõ ràng, đơn giá mua lớn hơn trong
hai khu vực còn làm cho hai vùng này không hấp dẫn.
Khi một switch sẽ diễn ra? Để trả lời câu hỏi này, thay đổi mô hình hơi. Đầu tiên, thay đổi cố định
chi phí đặt hàng đến $ 40. Thứ hai, giữ cho chi phí đơn vị trong
khu vực 3 tại $ 26, nhưng thay đổi các chi phí đơn vị trong khu vực 1
và 2 để $ 26? 2k và $ 26? k, nơi bạn có thể cho k
khác nhau. (Hiện nay, k là $ 2.) Sử dụng hai chiều SolverTable,
với k thay đổi trong một số phạm vi thích hợp để xem làm thế nào
k nhỏ phải được trước khi nó là tối ưu để đặt hàng từ khu vực 1 hoặc 2. Vùng gì là số lượng đặt hàng tối ưu nếu không có break giá ở tất cả (0 k?). Làm thế nào để
bạn hòa giải này với những phát hiện SolverTable của bạn?
Bất kể sự phức tạp của vấn đề. Điểm bất lợi là nó có thể được khó khăn, hoặc
ít nhất là tốn thời gian, để tìm thấy chính sách đặt hàng tối ưu từ một simulation.5
Chúng tôi đã kiểm tra một mô hình kiểm kê xác suất trong Chương 11, các mô hình newsvendor. Bản chất của một mô hình newsvendor là một công ty phải đặt hàng cho
một số sản phẩm chính xác một lần và sau đó chờ đợi để xem làm thế nào lớn là nhu cầu. Nếu nhu cầu là
lớn hơn so với dự kiến, công ty mất hàng nó có thể đã được thực hiện. Nếu nhu cầu là nhỏ hơn
so với dự kiến, công ty phải vứt bỏ các mục dư thừa hoặc bán chúng với giá markeddown. Điều này thể hiện một thương mại-off giữa cổ điển đặt hàng quá ít và đặt hàng quá
nhiều. Chúng tôi sử dụng mô phỏng trong chương 11 để phân tích vấn đề này. Bây giờ chúng ta xem làm thế nào nó có thể
được giải quyết có phân tích.
Bên cạnh mẫu newsvendor, chúng tôi cũng xem xét một mô hình đánh giá liên tục, nơi một
công ty đặt hàng sản phẩm liên tục theo thời gian. Mô hình chúng tôi kiểm tra về cơ bản là
mô hình EOQ giống như trong phần trước nhưng với một sự khác biệt quan trọng. Bây giờ các nhu cầu trong bất kỳ khoảng thời gian là ngẫu nhiên, và chỉ phân phối xác suất của nó được biết đến.
Đây là thực tế hơn, nhưng nó làm phức tạp việc phân tích. Chúng tôi cho rằng các công ty sử dụng một
(R, Q) chính sách đặt hàng, được sử dụng bởi nhiều công ty. Chính sách xem xét liên tục này được
xác định bởi hai số, R và Q. Các giá trị R là điểm đặt hàng. Khi mức tồn kho của công ty giảm xuống R, một đơn hàng được đặt. Số lượng đặt hàng Q xác định
số tiền để đặt hàng mỗi lần một đơn hàng được đặt.
Newsvendor Mô hình
Mô hình newsvendor là một trong những mô hình kiểm kê xác suất đơn giản, nhưng nó cũng là một
one.6 rất quan trọng xảy ra bất cứ khi nào Nó là một công ty phải đặt một one- thứ tự thời gian cho một sản phẩm và sau đó chờ đợi để nhìn thấy nhu cầu cho các sản phẩm. Giả định là sau khi nhu cầu này
xảy ra, các sản phẩm không còn giá trị. Điều này có thể là trường hợp cho một tờ báo hàng ngày (ai
muốn tờ báo của ngày hôm qua?), Lịch (ai muốn một lịch 2005 sau năm 2005?), Một sản phẩm thời trang mà có xu hướng đi ra khỏi phong cách sau khi "mùa" hiện tại (những gì phụ nữ muốn cuối cùng
váy phong cách của năm?), và như vậy. Trao cơ hội duy nhất để đặt hàng, các công ty cần phải cân bằng chi phí đặt hàng quá nhiều so với chi phí không đặt đủ.
Để đưa vấn đề này trong một khung cảnh khá chung, chúng tôi cho trang bìa và bìa, tương ứng, là
chi phí của việc có 1 đơn vị nhiều hơn hoặc ít hơn 1 đơn vị trên tay so với nhu cầu. Ví dụ, nếu nhu cầu quay
ra là 100 đơn vị, bao gồm là các chi phí nếu chúng tôi đặt hàng 101 chiếc, trong khi cunder là chi phí nếu chúng tôi đặt hàng
99 chiếc. Mỗi trong số này là mỗi đơn vị chi phí, vì vậy nếu chúng ta đặt hàng, nói rằng, 110 đơn vị, chi phí là 10cover,
trong khi đó nếu chúng ta đặt 90 đơn vị, chi phí là 10cunder. Các ví dụ được thảo luận trong thời gian ngắn chỉ ra làm thế nào
chúng ta tìm c
hơn và cunder từ đầu vào cho tiền tệ. Để bây giờ, chúng tôi cho rằng họ được biết.
Bây giờ D là nhu cầu ngẫu nhiên. Chúng tôi giả định rằng D có F phân phối xác suất tích lũy (x), để cho bất kỳ nhu cầu tiềm năng x, F (x) là xác suất P (D? X) D là
nhỏ hơn hoặc bằng x. Nói chung, phân phối này cần phải được ước tính, có thể là từ các dữ liệu về nhu cầu đối với sản phẩm này hoặc các sản phẩm tương tự. Sau đó, số lượng đặt hàng tốt nhất cân bằng chi phí của understocking lần xác suất understocking với chi phí overstocking lần xác suất overstocking. Như một ví dụ, giả sử chi phí đơn vị
understocking, cunder, là bốn lần lớn như chi phí đơn vị overstocking, bìa. Sau đó, nó
có vẻ hợp lý (và nó có thể được chứng minh) mà chúng ta cần xác suất understocking là
760 Chương 13 Inventory Models
5 May mắn thay, điều này là sự thật bây giờ ít hơn nó được sử dụng để được. Palisade, ví dụ, đã phát triển một gói phần mềm
được gọi là RISKOptimizer mà sử dụng một thuật toán di truyền để tối ưu hóa một đầu ra quy định trong một mô hình mô phỏng. Điều này
phần mềm được kèm với bộ phần mềm Palisade được đóng gói chung với cuốn sách. Chúng tôi đề cập đến Winston (1999) cho một cuộc thảo luận về mô hình mô phỏng sử dụng RISKOptimizer.
6 Bài báo của Pfeifer et al. (2001) có một cuộc thảo luận thú vị của ba phương pháp thay thế để phân tích các
vấn đề newsvendor: cây quyết định, mô phỏng, và phân tích fractile quan trọng được thảo luận ở đây. Mặc dù các tác giả cung cấp những ưu và nhược điểm của từng phương pháp, chúng xuất hiện để thích mô phỏng.
1? 4 lớn như xác suất của overstocking. Nếu Q là số lượng đặt hàng, xác suất của
overstocking là P (D Q?)? F (Q), và xác suất của understocking là 1 trừ đi này,
1? F (Q) 0,7 Bởi vì chúng tôi muốn xác suất understocking là 1/4 lớn như xác suất của overstocking, chúng ta thiết lập 1? F (Q)? (1? 4) F (Q) và giải quyết cho F (Q) để có được F (Q)? ?. 4 5
Một lập luận tương tự cho bất kỳ giá trị của nắp và cunder dẫn đến các phương trình sau đây có
thứ tự tối ưu lượng Q phải đáp ứng:
F (Q)? ?
C
trên
c
u?
NDE
rc dưới? (13.8) Các phần nhỏ ở phía bên phải của phương trình này được gọi là fractile quan trọng. Phần này sẽ xác định số lượng đặt hàng tối ưu thông qua việc xem xét các nhu cầu phân phối. Ví dụ, nếu chi phí của understocking là bốn lần lớn như chi phí của overstocking, sau đó các fractile quan trọng là 4/5, do đó, có 80% cơ hội Nhu cầu đó là ít hơn hoặc bằng với giá trị số lượng đặt hàng tối ưu. Đối với bất kỳ phân phối nhu cầu đặc biệt, sau đó chúng tôi có thể khiếu nại với chương trình RISKview, được xây dựng trong các chức năng Excel, ta