,l 4G 1 18%018:03 พ. 11 ธ.ค.เสร็จสิ

,l 4G 1 18%018:03 พ. 11 ธ.ค.เสร็จสิ้นScanned Documents.pdf88CHAPTER 2. FUNCTIONSThis is why the boxes in diagram (2.8) properly contain eachother.There is a relationship between subsets and the composition ofler in the functions f and g infunctions. Notice the reversthe next result. This is also'he only question on this examis: Have you leamed enough of the basics to understand a more tersemathematical proof? Before you read on, remember that sets A andB are equal, A= B, exactly when AC B and B C A. Nothingless than these two conditions may be proved if we wish to concludethat A= B. You will start with an z E A and prove that it is inB. Then you will start with an z E B and prove that it is in A.Notice that in the next several proofs this is exactly what we arepracticing.Theorem 2.2.8 Let f: A - B and g : B - C be functions,and let Z C C. Then(gof)-'(Z) = f-'(g~(Z)).Proof: To prove the equality we must show that(gof)~'(Z) C fI(g~'(Z))and thatf~i(g~'(Z)) C (gof)~'(Z).We will prove the inclusion (go f)-'(Z) C f-'(g-'(Z)).Let z E(gof)-'(Z). By definitions of composition and preim-age,g(f(z))=(gof)(a)EZ.Since g(f(c)) EZ, f(r) E g-'(Z), and then r E f-I(g~I(Z)).Hence(gof)-'(z) c f-'(g-'(Z)).Conversely, we will prove that f-'(g-'(Z)) C (gof)-'(Z). Sup-pose that r E f-'(g-'(Z)). We must show that z e (gof)-'(Z).Now r E f-I(g-I(Z)) implies that f(r) E g~I(Z) and hence thatg(f(r)) EZ. By definition of o we have(gof)(r)=g(f(r))EZ

Results (Thai) 1:

, L 4G 1 18% 0
18:03 พ 11 ธ.ค.
เสร็จสิ้น
การสแกน Documents.pdf
88
บทที่ 2 ฟังก์ชั่น
นี้คือเหตุผลที่กล่องในแผนภาพ (2.8) ได้อย่างถูกต้องประกอบด้วยแต่ละ
อื่น ๆ
มีความสัมพันธ์ระหว่างส่วนย่อยและองค์ประกอบของคือ
เลอร์ในฟังก์ชั่น f และ g ใน
ฟังก์ชั่น ขอให้สังเกตพลิกกลับ
ผลต่อไป และนี่ก็เป็น
'เขาเพียงคำถามเกี่ยวกับการสอบนี้
คือ: คุณ leamed เพียงพอของพื้นฐานที่จะเข้าใจสั้นมากขึ้น
พิสูจน์ทางคณิตศาสตร์? ก่อนที่คุณจะอ่านจำได้ว่าชุด A และ
B มีค่าเท่ากัน A = B, ว่าเมื่อ AC บีและเอบีซีไม่มีอะไร
น้อยกว่าทั้งสองเงื่อนไขอาจมีการพิสูจน์แล้วว่าถ้าเราต้องการที่จะสรุป
that A= B. You will start with an z E A and prove that it is in
B. Then you will start with an z E B and prove that it is in A.
Notice that in the next several proofs this is exactly what we are
practicing.
Theorem 2.2.8 Let f: A - B and g : B - C be functions,
and let Z C C. Then
(gof)-'(Z) = f-'(g~(Z)).
Proof: To prove the equality we must show that
(gof)~'(Z) C fI(g~'(Z))
and that
f~i(g~'(Z)) C (gof)~'(Z).
We will prove the inclusion (go f)-'(Z) C f-'(g-'(Z)).
Let z E(gof)-'(Z). By definitions of composition and preim-
age,
g(f(z))=(gof)(a)EZ.
Since g(f(c)) EZ, f(r) E g-'(Z), and then r E f-I(g~I(Z)).
Hence
(gof)-'(z) c f-'(g-'(Z)).
ตรงกันข้ามเราจะพิสูจน์ให้เห็นว่าฉ - '(ช -' (Z)) C (ขาด) - '(Z) Sup-
ท่าว่าอาอี f - '(ช -' (Z)) เราต้องแสดงให้เห็นว่า ZE (ขาด) - '(Z)
ตอนนี้ r E Fi (GI (Z)) หมายความว่า f (R) E กรัม ~ ผม (Z) และด้วยเหตุที่
กรัม (f (R)) EZ ตามคำนิยามของเรามี o
(ขาด) (R) = กรัม (f (R)) EZ

Results (Thai) 2:

我們真的喜歡對齊 Pro，因為它的多功能性，它為您提供了兩端的鉸鏈。

Results (Thai) 3:

ฉัน 4G-1-18 %0
จุด 03 จุด นั่นคือสิ่งที่ฉันต้องการ
เสร็จสิ้น
การสแกนเอกสาร
แปดสิบแปด
บทที่สอง หน้าที่
นั่นคือเหตุผลที่กล่องในรูป 2.8 ถูกต้องประกอบด้วยแต่ละ
อย่างอื่น
เซตย่อย
ฟังก์ชัน F และ G
หน้าที่ ระวังด้านหลัง
ผลลัพธ์ต่อไป นี่ด้วย
เขาเป็นคำถามเดียวในการสอบ
ไม่ว่าคุณจะได้รับความรู้พื้นฐานเพียงพอที่จะเข้าใจง่ายขึ้น
หลักฐานทางคณิตศาสตร์ โปรดจำไว้ว่าก่อนที่คุณจะอ่านต่อไป
มันเท่ากับว่าเมื่อ A C C C C C และ A
ถ้าเราต้องการสรุป
คุณจะเริ่มต้นด้วย Z E และพิสูจน์มัน
แล้วคุณจะเริ่มต้นด้วย Z E B และพิสูจน์มันใน A
โปรดทราบว่าในหลักฐานต่อไปนี้นี่คือสิ่งที่เราทำ
ฝึกซ้อม
ทฤษฎีบท 2.2.8 ตั้งค่า f-5888 a-b และ g-58b-c สำหรับฟังก์ชัน
งั้นก็ปล่อยให้ซีซีซีซี
（gof）—'（Z）=f—'（g~（Z））。
เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันเราต้องพิสูจน์
（gof）~'（Z）C fI（g~'（Z））
แล้วก็
นั่นคือเหตุผลที่ฉันบอกคุณบางอย่างเกี่ยวกับมัน
我们将证明包含（go f）—'（Z）cf—'（g—'（Z））。
让z E（gof）—'（z）。 ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบและการประมวลผล
อายุ
มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจสิ่งที่คุณกำลังทำอยู่
因为g（f（c））E Z，f（r）E g-'（Z），然后r E f-I（g~I（Z））。
เพราะฉะนั้น
（gof）—'（z）c f—'（g—'（z））。
相反，我们将证明f-'（g-'（Z））C（gof）—'（Z）。 สุป
摆出r E f-'（g-'（Z））的姿势。 我们必须证明z e（gof）—'（z）。
ตอนนี้ r-e-f-i หมายถึง f-e-g-126i และดังนั้นจึง
เงินสำรองของบริษัท ตามนิยามของ
มันเป็นสิ่งที่คุณทำ