MATHEMATICAL CONCEPTS AND THE DISTR

MATHEMATICAL CONCEPTS AND THE DISTRIBUTIVE PROPERTY
What concepts must student know and understand for a teacher to explain adequately that the product of two negative number is positive? There are many in the background; 1× a = a, 0×a = 0, a+0 = a, a + ( -a ) =0, a + ( b+ c) =(a + b)+ c , and so forth. However , the goal of this article is not to ask whether high school student can reproduce a complete proof but rather to get a feel for the reasoning that might be appropriate for them, given their knowledge of the structure and consistency present in the number system.
The most prominent concept required is the distributive property for multiplication over addition:
a( b +c ) = ab + ac. Secondary school student should be familiar with the distributive property. Many have probably been using it for some time, ever since they began doing mental mathematics (arithmetic calculations), such as 8×16 = 8(10+6) = 80+48 = 128.To understand (-1)(-1 )= +1, a student must have a more formol algebraic notion of the distributive property (i.e., an understanding that it holds for all the elements in a number set). However, being able to use the distributive property in arithmetic calculations may not mean understanding it algebraically. Matz (1980) and lins (1992) claim that the move from arithmetic calculation to understanding algebraic manipulation is not direct. On the other hand, Vermeulen, Olivier, and Human (1996) explore middle-grades student awareness of the distributive property and describe a teaching strategy that succeeded in increasing the student' algebraic awareness of this property. Evidence suggests that middle school as well as high school student can and do use the distributive property when solving problems.
MY ATTEMPT TO ANSWER WHY (-1)(-1) = +1
One way to proceed is to add some other expression to (-1)(-1) so that we can use the distributive property. What would that other expression be? Well,it should be the product of two numbers. Moreover, it should include (-1) so that we can use the distributive property (i.e., the two expressions must have a common factor). A good starting point would be (-1)(-1):
(-1)(-1)+(-1)(+1) = (-1)(-1+1) by the distributive property
=(-1)(0)
so (-1)(-1) + (-1)(+1) = 0
Simplifying (-1)(+1), we get (-1)(-1)-1 = 0
Add 1 to both sides yields (-1)(-1)-1+1 = 0+1,
or (-1)(-1) = +1
Note that I have simply used axioms that govern the number system and that students are already familiar with. This explanation is straightforward and precise; most important, it is not misleading.
Discussion
Student should have developed an intuitive sense that the number system is a well-defined, consistent structure. At the very heart of the number system lie axioms that must always hold: ( a+b) + c = a+(b+c),a-a =0, and the distributive property, for example. Students' success in future algebra classes and postsecondary field and ring theory classes rests on their developing this understanding of number systems. Kiern (1988, 1992) and Booth ( 1988) claim that the difficulty some students experience with algebraic structure is directly linked to previous difficulty with number systems. Accordingly, Kieran and Booth assert that students' previous experience with number systems, their structure and consistency, has an effect on the students' future success with algebra. Some researchers, such as Matz (1980) and Lins (1992), argue that the difficulties students experience with algebra are related not to the numerical context but to the transition from the numerical context to the algebraic context. The difficulty of the transition may hinder their success, but student still need to transfer and apply a solid knowledge of the number system to succeed in an algebraic context.In light of all these discussions, I belive, like Wu, that students need to know that "the product of two negative integers equaling a positive integer is direct consequence of the fact that the distributive property is true for number systems " (2005,p.3) and should not just be asked to "believe for now" or be given some pseudoreasoning. Morever we must consider the ramifications that the presentation such pseudoreasoning may have on our students, future success.
BIBLIOGRAPHY
Booth,Lesley R. "Children's Difficulties in Beginning Algebra." In The Ideas of Algebra, K - 12,1988 Yearbook of National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edited by Arthur F. Coxford and Albert P. Shulte, pp. 20-32. Reston, VA:NCTM,1988.
Edwards, Henry, and David Penny. Calculus. 4th ed.
Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994.
Keedy, Mervin, Marvin Bittinger, and Lord Smith.
Algebra Two. Boston: Addison-Wesley,1982.
Kieran, Carolyn. "Two Different Approaches among Algebra Learners." In The Ideas of Algebra, k-12,1988 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edited by Arthur F. Coxford and Albert P. Shulte,pp. 91-96. Reston,VA: NCTM,1988.
"The Learning and Teaching of Algebra." In Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, edited by Douglas Grouws, pp.390-419. New York: Macmillan,1992. Lins, Romulo. " A Framework for Understanding What Algebraic Thinking Is." PhD diss., Shell Centre for Mathematical Education, 1992. Peterson, John C. "Fourteen Different Strategies for Multiplication of Integers or Why (-1)(-1) = +1." The Arithmetic Teacher 19, no. 5 ( May 1972):396-403. Matz, Marilyn. "Building a Metaphoric Theory of Mathematical Thought." Journal of Mathematical Behaviour 3 (1980):93-166. Wu, Hung-His. "Key Mathematical Ideas in Grades 5-8." Paper presented at the annual meeting of the National Council of Teachers of Mathematics,Anaheim, California, april 6-9, 2005. math. berkeley.

MATHEMATICAL CONCEPTS AND THE DISTRIBUTIVE PROPERTY
What concepts must student know and understand for a teacher to explain adequately that the product of two negative number is positive? There are many in the background; 1× a = a, 0×a = 0, a+0 = a, a + ( -a ) =0, a + ( b+ c) =(a + b)+ c , and so forth. However , the goal of this article is not to ask whether high school student can reproduce a complete proof but rather to get a feel for the reasoning that might be appropriate for them, given their knowledge of the structure and consistency present in the number system.
The most prominent concept required is the distributive property for multiplication over addition:
 a( b +c ) = ab + ac. Secondary school student should be familiar with the distributive property. Many have probably been using it for some time, ever since they began doing mental mathematics (arithmetic calculations), such as 8×16 = 8(10+6) = 80+48 = 128.To understand (-1)(-1 )= +1, a student must have a more formol algebraic notion of the distributive property (i.e., an understanding that it holds for all the elements in a number set). However, being able to use the distributive property in arithmetic calculations may not mean understanding it algebraically. Matz (1980) and lins (1992) claim that the move from arithmetic calculation to understanding algebraic manipulation is not direct. On the other hand, Vermeulen, Olivier, and Human (1996) explore middle-grades student awareness of the distributive property and describe a teaching strategy that succeeded in increasing the student' algebraic awareness of this property. Evidence suggests that middle school as well as high school student can and do use the distributive property when solving problems.
MY ATTEMPT TO ANSWER WHY (-1)(-1) = +1
One way to proceed is to add some other expression to (-1)(-1) so that we can use the distributive property. What would that other expression be? Well,it should be the product of two numbers. Moreover, it should include (-1) so that we can use the distributive property (i.e., the two expressions must have a common factor). A good starting point would be (-1)(-1):
 (-1)(-1)+(-1)(+1) = (-1)(-1+1) by the distributive property
 =(-1)(0)
so (-1)(-1) + (-1)(+1) = 0 
Simplifying (-1)(+1), we get (-1)(-1)-1 = 0 
Add 1 to both sides yields (-1)(-1)-1+1 = 0+1, 
or (-1)(-1) = +1
Note that I have simply used axioms that govern the number system and that students are already familiar with. This explanation is straightforward and precise; most important, it is not misleading.
Discussion
Student should have developed an intuitive sense that the number system is a well-defined, consistent structure. At the very heart of the number system lie axioms that must always hold: ( a+b) + c = a+(b+c),a-a =0, and the distributive property, for example. Students' success in future algebra classes and postsecondary field and ring theory classes rests on their developing this understanding of number systems. Kiern (1988, 1992) and Booth ( 1988) claim that the difficulty some students experience with algebraic structure is directly linked to previous difficulty with number systems. Accordingly, Kieran and Booth assert that students' previous experience with number systems, their structure and consistency, has an effect on the students' future success with algebra. Some researchers, such as Matz (1980) and Lins (1992), argue that the difficulties students experience with algebra are related not to the numerical context but to the transition from the numerical context to the algebraic context. The difficulty of the transition may hinder their success, but student still need to transfer and apply a solid knowledge of the number system to succeed in an algebraic context.In light of all these discussions, I belive, like Wu, that students need to know that "the product of two negative integers equaling a positive integer is direct consequence of the fact that the distributive property is true for number systems " (2005,p.3) and should not just be asked to "believe for now" or be given some pseudoreasoning. Morever we must consider the ramifications that the presentation such pseudoreasoning may have on our students, future success.
BIBLIOGRAPHY
Booth,Lesley R. "Children's Difficulties in Beginning Algebra." In The Ideas of Algebra, K - 12,1988 Yearbook of National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edited by Arthur F. Coxford and Albert P. Shulte, pp. 20-32. Reston, VA:NCTM,1988.
Edwards, Henry, and David Penny. Calculus. 4th ed.
Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994.
Keedy, Mervin, Marvin Bittinger, and Lord Smith.
Algebra Two. Boston: Addison-Wesley,1982.
Kieran, Carolyn. "Two Different Approaches among Algebra Learners." In The Ideas of Algebra, k-12,1988 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edited by Arthur F. Coxford and Albert P. Shulte,pp. 91-96. Reston,VA: NCTM,1988.
"The Learning and Teaching of Algebra." In Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, edited by Douglas Grouws, pp.390-419. New York: Macmillan,1992. Lins, Romulo. " A Framework for Understanding What Algebraic Thinking Is." PhD diss., Shell Centre for Mathematical Education, 1992. Peterson, John C. "Fourteen Different Strategies for Multiplication of Integers or Why (-1)(-1) = +1." The Arithmetic Teacher 19, no. 5 ( May 1972):396-403. Matz, Marilyn. "Building a Metaphoric Theory of Mathematical Thought." Journal of Mathematical Behaviour 3 (1980):93-166. Wu, Hung-His. "Key Mathematical Ideas in Grades 5-8." Paper presented at the annual meeting of the National Council of Teachers of Mathematics,Anaheim, California, april 6-9, 2005. math. berkeley.

0/5000

From: -

To: -

Results (Thai) 1: [Copy]

Copied!

MATHEMATICAL CONCEPTS AND THE DISTRIBUTIVE PROPERTYWhat concepts must student know and understand for a teacher to explain adequately that the product of two negative number is positive? There are many in the background; 1× a = a, 0×a = 0, a+0 = a, a + ( -a ) =0, a + ( b+ c) =(a + b)+ c , and so forth. However , the goal of this article is not to ask whether high school student can reproduce a complete proof but rather to get a feel for the reasoning that might be appropriate for them, given their knowledge of the structure and consistency present in the number system.The most prominent concept required is the distributive property for multiplication over addition: a( b +c ) = ab + ac. Secondary school student should be familiar with the distributive property. Many have probably been using it for some time, ever since they began doing mental mathematics (arithmetic calculations), such as 8×16 = 8(10+6) = 80+48 = 128.To understand (-1)(-1 )= +1, a student must have a more formol algebraic notion of the distributive property (i.e., an understanding that it holds for all the elements in a number set). However, being able to use the distributive property in arithmetic calculations may not mean understanding it algebraically. Matz (1980) and lins (1992) claim that the move from arithmetic calculation to understanding algebraic manipulation is not direct. On the other hand, Vermeulen, Olivier, and Human (1996) explore middle-grades student awareness of the distributive property and describe a teaching strategy that succeeded in increasing the student' algebraic awareness of this property. Evidence suggests that middle school as well as high school student can and do use the distributive property when solving problems.MY ATTEMPT TO ANSWER WHY (-1)(-1) = +1One way to proceed is to add some other expression to (-1)(-1) so that we can use the distributive property. What would that other expression be? Well,it should be the product of two numbers. Moreover, it should include (-1) so that we can use the distributive property (i.e., the two expressions must have a common factor). A good starting point would be (-1)(-1): (-1)(-1)+(-1)(+1) = (-1)(-1+1) by the distributive property =(-1)(0)so (-1)(-1) + (-1)(+1) = 0 Simplifying (-1)(+1), we get (-1)(-1)-1 = 0 Add 1 to both sides yields (-1)(-1)-1+1 = 0+1, or (-1)(-1) = +1Note that I have simply used axioms that govern the number system and that students are already familiar with. This explanation is straightforward and precise; most important, it is not misleading.DiscussionStudent should have developed an intuitive sense that the number system is a well-defined, consistent structure. At the very heart of the number system lie axioms that must always hold: ( a+b) + c = a+(b+c),a-a =0, and the distributive property, for example. Students' success in future algebra classes and postsecondary field and ring theory classes rests on their developing this understanding of number systems. Kiern (1988, 1992) and Booth ( 1988) claim that the difficulty some students experience with algebraic structure is directly linked to previous difficulty with number systems. Accordingly, Kieran and Booth assert that students' previous experience with number systems, their structure and consistency, has an effect on the students' future success with algebra. Some researchers, such as Matz (1980) and Lins (1992), argue that the difficulties students experience with algebra are related not to the numerical context but to the transition from the numerical context to the algebraic context. The difficulty of the transition may hinder their success, but student still need to transfer and apply a solid knowledge of the number system to succeed in an algebraic context.In light of all these discussions, I belive, like Wu, that students need to know that "the product of two negative integers equaling a positive integer is direct consequence of the fact that the distributive property is true for number systems " (2005,p.3) and should not just be asked to "believe for now" or be given some pseudoreasoning. Morever we must consider the ramifications that the presentation such pseudoreasoning may have on our students, future success.BIBLIOGRAPHYBooth,Lesley R. "Children's Difficulties in Beginning Algebra." In The Ideas of Algebra, K - 12,1988 Yearbook of National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edited by Arthur F. Coxford and Albert P. Shulte, pp. 20-32. Reston, VA:NCTM,1988.Edwards, Henry, and David Penny. Calculus. 4th ed.Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994.Keedy, Mervin, Marvin Bittinger, and Lord Smith.Algebra Two. Boston: Addison-Wesley,1982.Kieran, Carolyn. "Two Different Approaches among Algebra Learners." In The Ideas of Algebra, k-12,1988 Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), edited by Arthur F. Coxford and Albert P. Shulte,pp. 91-96. Reston,VA: NCTM,1988."The Learning and Teaching of Algebra." In Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, edited by Douglas Grouws, pp.390-419. New York: Macmillan,1992. Lins, Romulo. " A Framework for Understanding What Algebraic Thinking Is." PhD diss., Shell Centre for Mathematical Education, 1992. Peterson, John C. "Fourteen Different Strategies for Multiplication of Integers or Why (-1)(-1) = +1." The Arithmetic Teacher 19, no. 5 ( May 1972):396-403. Matz, Marilyn. "Building a Metaphoric Theory of Mathematical Thought." Journal of Mathematical Behaviour 3 (1980):93-166. Wu, Hung-His. "Key Mathematical Ideas in Grades 5-8." Paper presented at the annual meeting of the National Council of Teachers of Mathematics,Anaheim, California, april 6-9, 2005. math. berkeley.

Being translated, please wait..

Results (Thai) 2:[Copy]

Copied!

แนวคิดทางคณิตศาสตร์และจำหน่ายทรัพย์สินอะไรแนวความคิดของนักเรียนจะต้องรู้และเข้าใจสำหรับครูที่จะอธิบายอย่างเพียงพอว่าผลิตภัณฑ์ของสองจำนวนลบเป็นบวก? มีหลายในพื้นหลังที่มี; 1 ×ใหม่ = ที่ 0 ×ใหม่ = 0, ที่ + 0 = เป็น + (-a) = 0, A + (B + c) = (A + B) + C, และอื่น ๆ อย่างไรก็ตามเป้าหมายของบทความนี้ไม่ได้ที่จะถามว่านักเรียนมัธยมสามารถทำซ้ำหลักฐานสมบูรณ์ แต่จะได้รับความรู้สึกสำหรับเหตุผลที่อาจจะเหมาะสมสำหรับพวกเขาได้รับความรู้เกี่ยวกับโครงสร้างและความมั่นคงในระบบจำนวน
แนวคิดที่โดดเด่นที่สุดต้องเป็นทรัพย์สินจำหน่ายคูณมากกว่านอกจากนี้:
(ที่ B + c) = ac AB + นักเรียนโรงเรียนมัธยมควรจะคุ้นเคยกับสถานที่ให้บริการจำหน่าย หลายคนได้รับอาจจะใช้มันบางครั้งนับตั้งแต่พวกเขาเริ่มทำคณิตศาสตร์จิต (คำนวณทางคณิตศาสตร์) เช่น 8 × 8 = 16 (10 + 6) = 80 + 48 = 128.To เข้าใจ (-1) (- 1 ) = 1 นักเรียนจะต้องมีความคิดเกี่ยวกับพีชคณิต formol เพิ่มเติมของสถานที่ให้บริการจำหน่าย (กล่าวคือเข้าใจว่ามันถือสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดในชุดจำนวน) แต่ความสามารถในการใช้คุณสมบัติการจำหน่ายในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ไม่อาจหมายถึงการทำความเข้าใจมันพีชคณิต แมทซ์ (1980) และ Lins (1992) อ้างว่าย้ายจากการคำนวณทางคณิตศาสตร์ในการทำความเข้าใจการจัดการเกี่ยวกับพีชคณิตไม่ได้โดยตรง ในทางตรงกันข้าม, Vermeulen, โอลิเวียและความมั่นคงของมนุษย์ (1996) สำรวจเกรดกลางการรับรู้ของนักเรียนของสถานที่ให้บริการจำหน่ายและอธิบายกลยุทธ์ของการเรียนการสอนที่ประสบความสำเร็จในการเพิ่มความตระหนักของนักเรียนเกี่ยวกับพีชคณิตของสถานที่ให้บริการนี้มี หลักฐานที่แสดงให้เห็นว่าโรงเรียนมัธยมเช่นเดียวกับนักเรียนมัธยมปลายและสามารถจะใช้สถานที่ให้บริการจำหน่ายเมื่อการแก้ปัญหา.
พยายามของฉันที่จะตอบทำไม (-1) (- 1) = 1
วิธีหนึ่งที่จะดำเนินการต่อไปคือการเพิ่มการแสดงออกบางอื่น ๆ ที่จะ ( -1) (- 1) เพื่อให้เราสามารถใช้คุณสมบัติการจำหน่าย สิ่งที่แสดงออกอื่น ๆ จะเป็นอย่างไร ดีมันควรจะเป็นผลิตภัณฑ์สองตัวเลข นอกจากนี้ยังควรรวม (-1) เพื่อให้เราสามารถใช้คุณสมบัติการจำหน่าย (กล่าวคือทั้งสองสำนวนจะต้องมีปัจจัยร่วมกัน) จุดเริ่มต้นที่ดีที่จะ (-1) (- 1):
(-1) (- 1) + (- 1) (+ 1) = (-1) (- 1 + 1) โดยคุณสมบัติการจำหน่าย
= (- 1) (0)
ดังนั้น (-1) (- 1) + (-1) (+ 1) = 0
ง่าย (-1) (+ 1) เราได้รับ (-1) (- 1) -1 = 0
เพิ่ม 1 ทั้งด้านอัตราผลตอบแทน (-1) (- 1) -1 + 1 = 0 + 1,
หรือ (-1) (- 1) = 1
หมายเหตุที่ฉันได้เพียงแค่ใช้หลักการที่ควบคุมระบบจำนวนและที่นักเรียน คุ้นเคยกับ คำอธิบายนี้ตรงไปตรงมาและมีความแม่นยำ; ที่สำคัญที่สุดก็ไม่ได้เป็นความเข้าใจผิด. อภิปรายนักศึกษาควรจะได้มีการพัฒนาความรู้สึกที่ใช้งานง่ายที่ระบบตัวเลขเป็นที่ดีที่กำหนดโครงสร้างที่สอดคล้องกัน ในหัวใจของระบบเลขสัจพจน์โกหกที่มักจะต้องถือ (A + B) + c = A + (ข + ค) AA = 0 และจำหน่ายทรัพย์สินเช่น ความสำเร็จของนักเรียนในชั้นเรียนพีชคณิตในอนาคตและสนาม postsecondary และเรียนทฤษฎีแหวนวางอยู่บนการพัฒนาความเข้าใจนี้ของพวกเขาจากระบบจำนวน Kiern (1988, 1992) และบูธ (1988) อ้างว่าความยากลำบากประสบการณ์นักเรียนที่มีโครงสร้างพีชคณิตเชื่อมโยงโดยตรงกับความยากลำบากก่อนหน้านี้ด้วยระบบจำนวน ดังนั้น Kieran และบูธยืนยันว่านักเรียนมีประสบการณ์มาก่อนกับระบบจำนวนโครงสร้างของพวกเขาและความสม่ำเสมอมีผลกระทบต่อนักเรียนที่ประสบความสำเร็จในอนาคตกับพีชคณิต นักวิจัยบางคนเช่นแมทซ์ (1980) และ Lins (1992) ยืนยันว่าประสบการณ์ที่ยากลำบากนักเรียนที่มีพีชคณิตที่เกี่ยวข้องไม่ให้บริบทตัวเลข แต่การเปลี่ยนแปลงจากบริบทตัวเลขไป context เกี่ยวกับพีชคณิต ความยากลำบากของการเปลี่ยนแปลงอาจขัดขวางความสำเร็จของพวกเขา แต่นักเรียนยังคงต้องโอนและใช้ความรู้ที่มั่นคงของระบบตัวเลขจะประสบความสำเร็จในที่มีแสงพีชคณิต context.In ของการอภิปรายทั้งหมดเหล่านี้ผมเชื่อเช่นวูว่านักเรียนจำเป็นต้องรู้ ว่า "ผลิตภัณฑ์ของทั้งสองจำนวนเต็มเชิงลบเท่ากับจำนวนเต็มบวกเป็นผลโดยตรงจากความจริงที่ว่าจำหน่ายทรัพย์สินที่เป็นจริงสำหรับระบบจำนวน" (2005, p.3) และจะไม่เพียง แต่จะขอให้ "เชื่อว่าตอนนี้" หรือจะได้รับ บาง pseudoreasoning Morever เราจะต้องพิจารณามีเครือข่ายที่นำเสนอ pseudoreasoning ดังกล่าวอาจจะมีนักเรียนของเราประสบความสำเร็จในอนาคต. บรรณานุกรมบูธอาร์เลสลีย์ "ความยากลำบากของเด็กในการเริ่มต้นพีชคณิต." ในความคิดของพีชคณิตที่ K - 12,1988 รายงานประจำปีของสภาแห่งชาติของครูคณิตศาสตร์ (NCTM) แก้ไขโดยอาร์เธอร์เอฟ Coxford และอัลเบิ Shulte พีพี 20-32. เรสตัน, เวอร์จิเนีย. NCTM 1988 เอ็ดเวิร์ดเฮนรี่และเดวิดเพนนี แคลคูลัส 4 เอ็ด. เกิลหน้าผานิวเจอร์ซีย์: Prentice-ฮอลล์ 1994 Keedy, Mervin มาร์วิน Bittinger, และลอร์ดสมิ ธ . พีชคณิตสอง บอสตัน:. Addison-Wesley 1982 Kieran แคโรลีน "สองแนวทางที่แตกต่างกันในหมู่ผู้เรียนพีชคณิต." ในความคิดของพีชคณิต k-12,1988 รายงานประจำปีของสภาแห่งชาติของครูคณิตศาสตร์ (NCTM) แก้ไขโดยอาร์เธอร์เอฟ Coxford และอัลเบิ Shulte พีพี 91-96 เรสตัน, เวอร์จิเนีย. NCTM 1988 "การเรียนการสอนของพีชคณิต." ในคู่มือของการวิจัยเกี่ยวกับการสอนคณิตศาสตร์และการเรียนรู้แก้ไขโดยดักลาส Grouws, pp.390-419 นิวยอร์ก: มักมิลลัน 1992 Lins, โรมูโล "กรอบสำหรับการทำความเข้าใจเกี่ยวกับสิ่งที่คิดเกี่ยวกับพีชคณิตเป็น." . เอกท้าทายเชลล์ศูนย์คณิตศาสตร์ศึกษาปี 1992 ปีเตอร์สัน, จอห์นซี "สิบสี่กลยุทธ์ที่แตกต่างกันสำหรับการคูณของจำนวนเต็มหรือทำไม (-1) (- 1) = 1." ครูคณิตศาสตร์ 19 ไม่มี 5 (พฤษภาคม 1972): 396-403 แมทซ์, มาริลีน "การสร้างทฤษฎีเปรียบเปรยคณิตศาสตร์คิด." วารสารคณิตศาสตร์พฤติกรรม 3 (1980): 93-166 วูฮุ-ของเขา "ความคิดทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญในเกรด 5-8." กระดาษที่นำเสนอในการประชุมประจำปีของสภาแห่งชาติของครูคณิตศาสตร์, อนาไฮม์, 06-09 เมษายน 2005 ทางคณิตศาสตร์ เบิร์กลีย์

Being translated, please wait..

Results (Thai) 3:[Copy]

Copied!

แนวคิดทางคณิตศาสตร์และคุณสมบัติการกระจายแนวคิด ต้องรู้และเข้าใจสิ่งที่นักเรียนกับครูอธิบายอย่างเพียงพอว่าผลิตภัณฑ์สองจํานวนลบเป็นบวก ? มีมากในพื้นหลัง ; 1 ×× 0 = A = 0 , 0 = a ( - ) = 0 , ( B C ) = ( b ) C , และอื่น ๆ อย่างไรก็ตามเป้าหมายของบทความนี้ไม่ได้ที่จะถามว่า นักเรียนสามารถสร้างหลักฐานที่สมบูรณ์ แต่ค่อนข้างที่จะได้รับความรู้สึกสำหรับเหตุผลที่อาจจะเหมาะสมสำหรับพวกเขาได้รับความรู้ของโครงสร้างและความสอดคล้องอยู่ในระบบจำนวน .
จุดเด่นแนวคิดที่ต้องการคุณสมบัติกระจายการคูณมากกว่านอกจากนี้ :
( B C ) = AB .นักเรียนควรจะคุ้นเคยกับคุณสมบัติการกระจาย . หลายคนอาจจะใช้มันสำหรับบางเวลา นับตั้งแต่พวกเขาเริ่มทำคณิตศาสตร์จิต ( การคำนวณเลขคณิต ) เช่น 8 × 16 = 8 ( 10 : 6 ) = 80 48 = 128 . เข้าใจ ( - 1 ) ( - 1 ) = 1 , นักเรียนจะต้องมี formol มากกว่าพีชคณิตความคิดของทรัพย์สิน การกระจาย ( เช่นความเข้าใจว่ามีองค์ประกอบทั้งหมดในการตั้งค่าจำนวน ) อย่างไรก็ตาม ความสามารถในการใช้คุณสมบัติการกระจายการคำนวณเลขคณิตอาจหมายถึงเข้าใจเกี่ยวกับพีชคณิต แมทซ์ ( 1980 ) และ ลินส์ ( 1992 ) อ้างว่า ย้ายจากการคำนวณเลขคณิตกับพีชคณิต คือความเข้าใจการไม่ตรง บนมืออื่น ๆ , vermeulen โอลิเวียร์ , ,และมนุษย์ ( 1996 ) สำรวจนักเรียนระดับกลางการกระจายทรัพย์สินและอธิบายกลยุทธ์ที่ประสบความสำเร็จในการสอนนักเรียนเกี่ยวกับพีชคณิตเกี่ยวกับคุณสมบัตินี้ หลักฐานที่แสดงให้เห็นว่าโรงเรียนรวมทั้งนักเรียนมัธยมและสามารถใช้คุณสมบัติการกระจายเมื่อการแก้ปัญหา .
ฉันพยายามที่จะตอบทำไม ( - 1 ) ( - 1 ) = 1

Being translated, please wait..

Other languages

The translation tool support: Afrikaans, Albanian, Amharic, Arabic, Armenian, Azerbaijani, Basque, Belarusian, Bengali, Bosnian, Bulgarian, Catalan, Cebuano, Chichewa, Chinese, Chinese Traditional, Corsican, Croatian, Czech, Danish, Detect language, Dutch, English, Esperanto, Estonian, Filipino, Finnish, French, Frisian, Galician, Georgian, German, Greek, Gujarati, Haitian Creole, Hausa, Hawaiian, Hebrew, Hindi, Hmong, Hungarian, Icelandic, Igbo, Indonesian, Irish, Italian, Japanese, Javanese, Kannada, Kazakh, Khmer, Kinyarwanda, Klingon, Korean, Kurdish (Kurmanji), Kyrgyz, Lao, Latin, Latvian, Lithuanian, Luxembourgish, Macedonian, Malagasy, Malay, Malayalam, Maltese, Maori, Marathi, Mongolian, Myanmar (Burmese), Nepali, Norwegian, Odia (Oriya), Pashto, Persian, Polish, Portuguese, Punjabi, Romanian, Russian, Samoan, Scots Gaelic, Serbian, Sesotho, Shona, Sindhi, Sinhala, Slovak, Slovenian, Somali, Spanish, Sundanese, Swahili, Swedish, Tajik, Tamil, Tatar, Telugu, Thai, Turkish, Turkmen, Ukrainian, Urdu, Uyghur, Uzbek, Vietnamese, Welsh, Xhosa, Yiddish, Yoruba, Zulu, Language translation.