Level 2: Informal DeductionThe obje

Level 2: Informal Deduction
The objects of thought at level 2 are the properties of shapes.
As students begin to be able to think about properties of geometric objects without the constraints of a particular object, they are able to develop relationships between and among these properties. “If all four angles are right angles, the shape must be a rectangle. If it is a square, all angles are right angles. If it is a square, it must be a rectangle.” With greater ability to engage in “if-then” reasoning, shapes can be classified using only minimum characteristics. For example, four congruent sides and at least one right angle can be sufficient to define a square. Rectangles are parallelograms with a right angle. Observations go beyond properties themselves and begin to focus on logical arguments about the properties. Students at level 2 will be able to follow and appreciate an informal deductive argument about shapes and their properties. “Proofs” may be more intuitive than rigorously deductive. However, there is an appreciation that a logical argument is compelling. An appreciation of the axiomatic structure of a formal deductive system, however, remains under the surface.
The products of thought at level 2 are relationships among properties of geometric objects.

Level 3: Deduction
The objects of thought at level3 are relationships among properties of geometric objects.
At level 3, students are able to examine more than just the properties of shapes. Their earlier thinking has produced conjectures concerning relationships among properties. Are these conjectures correct? Are they “true”? As this analysis of the informal arguments takes place, the structure of a system complete with axioms, definitions, theorems, corollaries, and postulates begins to develop and can be appreciated as the necessary means of establishing geometric truth. At this level, students begin to appreciate the need for a system of logic that rests on a minimum set of assumptions and from which other truths can be derived. The student at this level is able to work with abstract statements about geometric properties and make conclusions based more on logic than intuition. This is the level of the traditional high school geometry course. A student operating at level 3 can clearly observe that the diagonals of a rectangle bisect each other, just as a student at a lower level of thought can. However, at level 3, there is an appreciation of the need to prove this from a series of deductive arguments.

The level 2 thinker, by contrast, follows the argument but fails to appreciate the need.
The products of thought at level 3 are deductive axiomatic systems for geometry.

Results (Vietnamese) 1:

Cấp 2: Khấu trừ không chính thứcCác đối tượng của nghĩ tại cấp 2 là các thuộc tính của hình dạng.Khi học sinh bắt đầu để có thể suy nghĩ về các thuộc tính của các đối tượng hình học mà không có những hạn chế của một đối tượng cụ thể, họ có thể phát triển các mối quan hệ giữa và trong số các thuộc tính này. "Nếu tất cả bốn góc là góc, hình dạng phải là một hình chữ nhật. Nếu nó là một hình vuông, tất cả các góc là góc phải. Nếu nó là một hình vuông, nó phải là một hình chữ nhật." Với khả năng lớn hơn để tham gia vào các lý do "Nếu sau đó", hình dạng có thể được phân loại bằng cách sử dụng đặc điểm chỉ tối thiểu. Ví dụ, bốn phía đồng dư và ít nhất một góc bên phải có thể là đủ để xác định một hình vuông. Hình chữ nhật là parallelograms với một góc bên phải. Quan sát vượt qua tính chất bản thân và bắt đầu tập trung vào các lập luận hợp lý về các thuộc tính. Học sinh cấp 2 sẽ có thể theo dõi và đánh giá cao một lý luận suy luận không chính thức về hình dạng và tính chất của họ. "Bằng chứng" có thể trực quan hơn so với một cach nghiêm tuc suy diễn. Tuy nhiên, đó là một sự đánh giá là một đối số hợp lý là hấp dẫn. Một sự đánh giá cấu trúc tiên đề của một hệ thống suy diễn chính thức, Tuy nhiên, vẫn còn dưới bề mặt.Các sản phẩm của suy nghĩ ở cấp độ 2 là mối quan hệ giữa các thuộc tính của các đối tượng hình học.Cấp độ 3: khấu trừCác đối tượng của tưởng tại level3 là mối quan hệ giữa các thuộc tính của các đối tượng hình học.Ở cấp độ 3, học sinh có thể kiểm tra nhiều hơn là chỉ có các thuộc tính của hình dạng. Suy nghĩ trước đó của họ đã sản xuất các phỏng đoán liên quan đến mối quan hệ giữa tài sản. Có những phỏng đoán đúng không? Họ là "đúng"? Khi điều này phân tích các luận cứ chính thức diễn ra, cấu trúc của một hệ thống hoàn chỉnh với các tiên đề, định nghĩa, định lý, corollaries, và postulates bắt đầu phát triển và có thể được đánh giá cao như là phương tiện cần thiết của việc thiết lập hình học thật. Ở cấp độ này, học sinh bắt đầu đánh giá cao sự cần thiết cho một hệ thống logic dựa trên tối thiểu là thiết lập của các giả định và từ sự thật khác mà có thể được bắt nguồn. Sinh viên ở cấp độ này có thể làm việc với các báo cáo tóm tắt về tính chất hình học và kết luận dựa nhiều trên logic hơn trực giác. Đây là mức độ của khóa học hình học truyền thống Trung học. Một sinh viên hoạt động ở cấp độ 3 có thể rõ ràng quan sát các đường chéo của một hình chữ nhật bisect nhau, giống như một sinh viên ở một mức độ thấp hơn của tư tưởng. Tuy nhiên, ở cấp độ 3, là một sự đánh giá cao về sự cần thiết để chứng minh điều này từ một loạt các lập luận suy diễn. Các nhà tư tưởng cấp 2, ngược lại, sau các đối số nhưng không thể đánh giá cao sự cần thiết.Các sản phẩm của nghĩ ở cấp độ 3 là suy diễn các hệ thống tiên đề cho hình học.

Results (Vietnamese) 2:

Level 2: Trích thức
. Các đối tượng của tư duy ở mức 2 là tài sản của các hình dạng
Khi học sinh bắt đầu có thể suy nghĩ về các thuộc tính của các đối tượng hình học mà không có sự ràng buộc của một đối tượng cụ thể, họ có thể phát triển các mối quan hệ giữa các các thuộc tính . "Nếu tất cả bốn góc là góc bên phải, hình dạng phải là một hình chữ nhật. Nếu nó là một hình vuông, tất cả các góc là góc vuông. Nếu nó là một hình vuông, nó phải là một hình chữ nhật. "Với khả năng lớn hơn để tham gia vào" nếu-thì "lý luận, hình dạng có thể được phân loại chỉ sử dụng các đặc tính tối thiểu. Ví dụ, bốn phía đồng dư và ít nhất một góc bên phải có thể là đủ để xác định một hình vuông. Hình chữ nhật là hình bình hành với một góc vuông. Quan sát đi ngoài những đặc tính bản thân và bắt đầu tập trung vào lập luận logic về tài sản. Học sinh cấp 2 sẽ có thể theo dõi và đánh giá cao một lập luận suy diễn không chính thức về các hình dạng và tính chất của chúng. "Bằng chứng" có thể trực quan hơn một cách nghiêm ngặt suy. Tuy nhiên, có một sự đánh giá rằng một lập luận hợp lý là hấp dẫn. Một sự đánh giá cao của các cấu trúc tiên đề của một hệ thống suy diễn chính thức, tuy nhiên, vẫn còn dưới bề mặt.
Các sản phẩm của tư duy ở mức 2 là mối quan hệ giữa các thuộc tính của các đối tượng hình học.

Level 3: Trích
Các đối tượng của tâm tại level3 là mối quan hệ giữa các thuộc tính của hình học đối tượng.
Ở cấp 3, học sinh có thể kiểm tra nhiều hơn chỉ là các tính chất của hình dạng. Suy nghĩ trước đó của họ đã sản xuất phỏng đoán liên quan đến mối quan hệ giữa các thuộc tính. Có những giả thuyết này có đúng không? Họ là "true"? Theo phân tích của các đối số không chính thức diễn ra, cấu trúc của một hệ thống hoàn chỉnh với các tiên đề, ​​định nghĩa, định lý, hệ quả tất yếu, và định đề bắt đầu phát triển và có thể được đánh giá là phương tiện cần thiết của việc thiết lập sự thật hình học. Ở cấp độ này, học sinh bắt đầu đánh giá cao sự cần thiết cho một hệ thống logic dựa trên một tập hợp tối thiểu các giả định và từ đó chân lý khác có thể được bắt nguồn. Các sinh viên ở cấp độ này có thể làm việc với các báo cáo tóm tắt về các thuộc tính hình học và kết luận dựa trên logic hơn so với trực giác. Đây là mức độ của quá trình hình học trung học truyền thống. Một học sinh hoạt động ở cấp độ 3 có thể quan sát rõ ràng rằng các đường chéo của một hình chữ nhật chia hai nga nhau, chỉ là một sinh viên ở một mức độ thấp hơn của tư tưởng có thể. Tuy nhiên, ở cấp độ 3, có một sự đánh giá cao về sự cần thiết để chứng minh điều này từ một loạt các lý lẽ suy luận. Mức 2 nhà tư tưởng, ngược lại, sau những tranh luận nhưng không đánh giá cao sự cần thiết. Các sản phẩm của tư duy ở cấp 3 là suy luận hệ thống tiên đề hình học.