Figure 5.2 Initial Data Input Scree

Figure 5.2 Initial Data Input Screen


After renaming the variables, entering the objective function coefficients, the constraint coeffi¬cients, the constraint relationships, and the right-hand-side values, we obtain the data input screen shown in Figure 5.3. After choosing Solve from the Solution menu, we obtain the Integer Variable Identification dialog box shown in Figure 5.4. After selecting the All Variables Are General Integer option and choosing Solve, the optimal solution will be presented as shown in Figure 5.5 (page 28).


Figure 5.3 Data Input Screen for the Eastborne Realty Problem

Figure 5.4 Integer Variable Identification Dialog Box

Figure 5.5 Optimal Solution to the Eastborne Realty Problem

We see that the optimal solution for Eastborne Realty is to purchase four townhouses (T = 4) and two apartment buildings (A = 2); this solu¬tion corresponds to a yearly cash flow of $70,000.
Note that the form of the optimal solution output is similar to that of the Linear Programming module. However, the reduced costs and dual prices are not given. This is because they do not have the same meaning as for linear pro¬gramming problems. Also, no ranging information is given for objective func¬tion coefficients and right-hand sides. Such information is not meaningful for integer linear programs.
5.4 AN EXAMPLE PROBLEM:
THE 0–1 ALL-INTEGER CASE
The Ice-Cold Refrigerator Company can invest funds over the next four years in a variety of company projects that have differing capital requirements. Faced with limited funds, the company must select the most profitable pro¬jects and budget for the necessary capital expenditures. The estimated present values for the projects, the capital requirements, and the available capital pro¬jections are as follows:


Estimated
Present Capital Requirements
Project Value($) Year l Year 2 Year 3 Year 4
Plant expansion 90,000 15,000 20,000 20,000 15,000
Warehouse expansion 40,000 10,000 15,000 20,000 5,000
New machinery 10,000 10,000 0 0 4,000
New product research 37,000 15,000 10,000 10,000 10,000
Available capital funds 40,000 50,000 40,000 35,000
The following decision variable definitions are used:

P = 1 if the plant expansion project is accepted; 0 if rejected

W = 1 if the warehouse expansion project is accepted; 0 if rejected

M = 1 if the new machinery project is accepted; 0 if rejected

R = 1 if the new product research project is accepted; 0 if rejected

Using these decision variable definitions, the objective function can be written as shown below (monetary values are expressed in thousands of dollars):

max 90P + 40W + 10M + 37R

The mathematical model of this capital budgeting problem has a separate con¬straint for each year’s available funds; thus we obtain the following four con¬straints:
15P + 10W + 10M + 15R  40
20P + 15W 10R  50
20P + 20W 10R  40
15P + 5W + 4M + 10R  35
P, W, M, R = 0,1
To solve the above integer linear programming problem using the Integer Linear Programming module, we enter the problem in the usual fashion. After verifying that the problem has been entered correctly, we choose Solve from the Solution menu. Then, in the Integer Variable Identification dialog box, we select the All Variables Are 0/1 (Binary) option and choose Solve; the optimal solution, shown in Figure 5.6, is given by P = 1, W = 1, M = 1, and R = 0 with a total estimated present value of $140,000.


Figure 5.6 Optimal Solution to the Ice-Cold Refrigerator Company Problem
5.5 AN EXAMPLE PROBLEM:
THE MIXED-INTEGER CASE
Suppose that we had the following mixed-integer linear programming problem:
max 1X1 + 1X2
s.t.
7X1 + 9X2  63
9X1 + 5X2  45
3X1 + 1X2  12
X1, X2  0 and X2 integer
After entering this problem, we choose Solve from the Solution menu. Then, in the Integer Variable Identification dialog box we select the Multiple Types of Variables option. From the General Integer Variables list we choose X2.
After selecting Solve, the optimal mixed integer solution is displayed as shown in Figure 5.7.


Figure 5.7 Optimal Solution to the Mixed-Integer Example Problem
5.6 OTHER CONSIDERATIONS
The Integer Linear Programming module of The Management Scientist is a general integer programming system; that is, it has the capability of solving every type of integer linear programming problem. A branch and bound solution procedure, which requires the solution of a linear pro¬gramming problem at each node, is employed. The number of computations involved in solving these problems can be substantial for even moderately sized problems. Thus, solution times may take as long as several minutes for more difficult problems and will depend on the speed of your personal computer.

CHAPTER 6
SHORTEST ROUTE
In this chapter, we consider the network application of designing a transporta¬tion system where the primary interest is in determining the shortest route or shortest path through the network. These types of problems arise in situa¬

Results (Indonesian) 1:

Mencari Data awal 5.2 masukan Setelah mengubah nama variabel, memasuki koefisien fungsi tujuan, coeffi¬cients kendala, hubungan kendala, dan nilai-nilai right hand sisi, kita mendapatkan layar input data ditampilkan dalam 5.3 angka. Setelah memilih memecahkan dari menu solusi, kita mendapatkan kotak dialog Integer variabel identifikasi yang ditunjukkan dalam gambar 5.4. Setelah memilih opsi semua variabel yang umum Integer dan memilih memecahkan, solusi optimal akan disajikan seperti ditunjukkan pada gambar 5.5 (halaman 28).Mencari 5.3 Data masukan untuk masalah Eastborne Realty5.4 angka Integer variabel identifikasi kotak DialogGambar 5.5 solusi Optimal untuk masalah Eastborne Realty Kita melihat bahwa solusi yang optimal untuk Eastborne Realty adalah untuk membeli empat townhouse (T = 4) dan dua bangunan apartemen (A = 2); solu¬tion ini sesuai dengan arus kas tahunan $ 70.000. Perhatikan bahwa bentuk output solusi optimal mirip dengan modul Linear Programming. Namun, mengurangi biaya dan harga ganda tidak diberikan. Hal ini karena mereka tidak memiliki arti yang sama untuk linear pro¬gramming masalah. Juga, tidak ada informasi mulai diberikan untuk tujuan func¬tion koefisien dan sisi kanan. Informasi tersebut tidak bermakna untuk program-program linear integer.5.4 CONTOH MASALAH: 0-1 SEMUA-BULAT KASUSIce-Cold kulkas perusahaan dapat berinvestasi selama empat tahun berikutnya dalam berbagai proyek-proyek perusahaan yang memiliki persyaratan modal yang berbeda. Dihadapkan dengan keterbatasan dana, perusahaan harus pilih pro¬jects paling menguntungkan dan anggaran untuk pengeluaran modal yang diperlukan. Hadir perkiraan nilai proyek, persyaratan modal, dan pro¬jections modal yang tersedia adalah sebagai berikut: Diperkirakan Persyaratan modal yang hadirProyek Value($) tahun l 2 tahun 3 tahun 4Tanaman ekspansi 90.000 15.000 20.000 20.000 15.000Gudang ekspansi 40.000 10.000 15.000 20.000 5.000Mesin baru 10.000 10.000 0 0 4.000Riset produk baru 37.000 15.000 10.000 10.000 10.000Modal yang tersedia dana 40.000 50.000 40.000 35.000Definisi variabel keputusan berikut digunakan:P = 1 jika proyek perluasan pabrik diterima; 0 jika menolakW = 1 jika Proyek Perluasan gudang diterima; 0 jika menolakM = 1 jika proyek mesin baru diterima; 0 jika menolakR = 1 jika proyek penelitian produk baru diterima; 0 jika menolakMenggunakan definisi ini keputusan variabel, fungsi tujuan dapat ditulis seperti ditunjukkan di bawah (nilai-nilai moneter dinyatakan dalam ribuan dolar):Max 90 P + 40W + 10 M + 37RModel matematika masalah penganggaran modal ini memiliki con¬straint yang terpisah untuk setiap tahun dana yang tersedia; dengan demikian kita memperoleh con¬straints empat berikut: 15 P + 10W + 10 M + 15R  40 20 P + 15W 10R  50 20 P + 20W 10R  40 15 P + 5W + 4 M + 10R  35 P W, M, R = 0,1 Untuk mengatasi integer linier pemrograman masalah diatas menggunakan modul Integer Linear Programming, kita memasuki masalah di mode biasa. Setelah melakukan verifikasi bahwa masalah telah dimasukkan dengan benar, kita memilih memecahkan dari menu solusi. Kemudian, di kotak dialog identifikasi variabel Integer, kita memilih semua variabel pilihan (biner) 0/1 dan pilih memecahkan; solusi optimal, ditunjukkan dalam gambar 5.6, diberikan oleh P = 1, W = 1, M = 1, dan R = 0 dengan total hadir perkiraan nilai $140,000.Angka 5,6 solusi Optimal untuk masalah dingin kulkas perusahaan5.5 CONTOH MASALAH: KASUS INTEGER DICAMPURMisalkan bahwa kami telah dicampur-bulat linier pemrograman masalah berikut: Max 1 X 1 + 1 X 2 s.t. 7 X 1 + 9 X 2  63 9 X 1 + 5 X 2  45 3 X 1 + 1 X 2  12 X1, X2  0 dan X2 bulatSetelah memasukkan masalah ini, kita memilih memecahkan dari menu solusi. Kemudian, di kotak dialog Integer variabel identifikasi kita pilih opsi beberapa jenis variabel. Dari daftar umum Integer variabel kita memilih X2. Setelah memilih memecahkan, solusi optimal campuran integer ditampilkan seperti yang ditunjukkan dalam gambar 5.7.Gambar 5.7 solusi Optimal untuk masalah contoh Integer dicampur5.6 PERTIMBANGAN LAINModul Integer Linear Programming The manajemen ilmuwan adalah sistem pemrograman umum bulat; maksudnya, ia memiliki kemampuan memecahkan setiap jenis masalah pemrograman linier integer. Cabang dan prosedur terikat solusi, yang membutuhkan solusi dari masalah linier pro¬gramming pada setiap node, digunakan. Jumlah perhitungan terlibat dalam memecahkan masalah ini dapat substansial untuk ukuran bahkan sedang masalah. Dengan demikian, solusi kali mungkin berlangsung selama beberapa menit untuk masalah yang lebih sulit dan akan tergantung pada kecepatan komputer pribadi Anda. BAB 6RUTE TERPENDEKDalam bab ini, kita mempertimbangkan aplikasi jaringan merancang sebuah sistem transporta¬tion yang mana minat utamanya adalah dalam menentukan rute terpendek atau jalan terpendek melalui jaringan. Jenis masalah yang timbul dalam situa¬

Results (Indonesian) 2:

Gambar 5.2 Awal Input Data Layar


Setelah mengubah nama variabel, memasuki koefisien fungsi tujuan, yang coeffi¬cients kendala, hubungan kendala, dan nilai-nilai-tangan sebelah kanan, kita memperoleh layar input data yang ditunjukkan pada Gambar 5.3. Setelah memilih Memecahkan dari menu Solusi, kita memperoleh kotak dialog Identifikasi Variabel Integer ditunjukkan pada Gambar 5.4. Setelah memilih Semua Variabel Apakah opsi Umum Integer dan memilih Memecahkan, solusi optimal akan disajikan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.5 (halaman 28).


Gambar 5.3 Input Data Layar untuk Eastbourne Realty Masalah

Gambar 5.4 Integer Variabel Identifikasi Dialog Box

Gambar 5.5 Solusi Optimal untuk masalah Eastbourne Realty

Kami melihat bahwa solusi optimal untuk Eastbourne Realty adalah untuk membeli empat townhouse (T = 4) dan dua bangunan apartemen (A = 2); solu¬tion ini sesuai dengan arus kas tahunan sebesar $ 70.000.
Perhatikan bahwa bentuk output solusi optimal adalah mirip dengan modul Linear Programming. Namun, mengurangi biaya dan harga ganda tidak diberikan. Hal ini karena mereka tidak memiliki arti yang sama seperti untuk masalah pro¬gramming linear. Juga, tidak ada informasi mulai diberikan untuk koefisien func¬tion objektif dan sisi kanan. Informasi tersebut tidak berarti bagi program linier integer.
5.4 AN MASALAH CONTOH:
THE 0-1 ALL-INTEGER CASE
The Ice-Cold Kulkas Perusahaan dapat menginvestasikan dana selama empat tahun ke depan dalam berbagai proyek perusahaan yang telah berbeda kebutuhan modal. Dihadapkan dengan keterbatasan dana, perusahaan harus memilih pro¬jects paling menguntungkan dan anggaran untuk belanja modal yang diperlukan. Nilai sekarang estimasi untuk proyek, kebutuhan modal, dan pro¬jections modal yang tersedia adalah sebagai berikut:


Perkiraan
Hadir Kebutuhan Modal
Nilai Proyek ($) Tahun l Tahun 2 Tahun 3 Tahun 4
ekspansi Tanaman 90.000 15.000 20.000 20.000 15.000
Gudang ekspansi 40.000 10.000 15.000 20.000 5.000
mesin New 10.000 10.000 0 0 4.000
produk penelitian baru 37.000 15.000 10.000 10.000 10.000
dana modal Tersedia 40.000 50.000 40.000 35.000
keputusan berikut definisi variabel yang digunakan:

P = 1 jika proyek perluasan pabrik diterima; 0 jika menolak

W = 1 jika proyek perluasan gudang diterima; 0 jika menolak

M = 1 jika proyek mesin baru diterima; 0 jika ditolak

R = 1 jika proyek penelitian produk baru diterima; 0 jika menolak

Menggunakan definisi variabel keputusan ini, fungsi tujuan dapat ditulis seperti yang ditunjukkan di bawah ini (nilai moneter disajikan dalam ribuan dolar):

max 90 p + 40W + 10M + 37R

Model matematika dari masalah penganggaran modal ini memiliki con¬ terpisah regangan untuk dana yang tersedia setiap tahun; sehingga kita memperoleh empat con¬straints berikut:
15P + 10W + 10M + 15R  40
20P + 15W 10R  50
20P + 20W 10R  40
15P + 5W + 4M + 10R  35
P, W, M, R = 0, 1
Untuk mengatasi masalah bilangan bulat linear programming di atas menggunakan modul Integer linear Programming, kita memasuki masalah dengan cara biasa. Setelah memverifikasi bahwa masalah telah dimasukkan dengan benar, kami memilih Memecahkan dari menu Solusi. Kemudian, di Variable kotak dialog Identifikasi Integer, kita pilih Semua Variabel Apakah 0/1 (Binary) pilihan dan memilih Memecahkan; solusi optimal, yang ditunjukkan pada Gambar 5.6, diberikan oleh P = 1, W = 1, M = 1, dan R = 0 dengan total estimasi nilai sekarang dari $ 140.000.


Gambar 5.6 Solusi Optimal untuk Masalah Ice-Cold Kulkas Perusahaan
5.5 AN mASALAH CONTOH:
tHE mIXED-INTEGER CASE
Misalkan kita memiliki mixed-integer masalah berikut linear programming:
max 1X1 + 1X2
st
7X1 + 9X2  63
9x1 + 5x2  45
3X1 + 1X2  12
X1, X2  0 dan X2 bilangan bulat
setelah memasukkan masalah ini, kami memilih Memecahkan dari menu Solusi. Kemudian, pada kotak dialog Integer Identifikasi Variabel kita pilih Jenis Beberapa opsi Variabel. Dari daftar Variabel Umum Integer kita memilih X2.
Setelah memilih Memecahkan, solusi bilangan bulat campuran optimal ditampilkan seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.7.


Gambar 5.7 Solusi Optimal ke Mixed-Integer Contoh Soal
5.6 PERTIMBANGAN LAIN
Modul Integer Linear Programming dari Manajemen Scientist adalah sistem integer programming umum; yaitu, memiliki kemampuan memecahkan setiap jenis masalah pemrograman linear integer. Prosedur cabang dan solusi terikat, yang membutuhkan solusi dari masalah pro¬gramming linear di setiap node, digunakan. Jumlah perhitungan yang terlibat dalam memecahkan masalah-masalah ini dapat menjadi substansial untuk masalah bahkan berukuran sedang. Jadi, kali solusi mungkin memakan waktu selama beberapa menit untuk masalah yang lebih sulit dan akan tergantung pada kecepatan komputer pribadi Anda.

BAB 6
ROUTE SHORTEST
Dalam bab ini, kita mempertimbangkan aplikasi jaringan merancang sistem transporta¬tion mana kepentingan utama adalah dalam menentukan rute terpendek atau jalur terpendek melalui jaringan. Jenis masalah timbul di situa¬