24 x 21 = 42 x 12A complete set of

24 x 21 = 42 x 12

A complete set of two 2-digit numbers with equal products when digits reversed:

(Ratio of pairs of numbers on the left- and right-hand sides of the equation in bold.)

1:2, 2:1 (or x2, x½)
13 x 62 = 31 x 26
14 x 82 = 41 x 28
23 x 64 = 32 x 46
24 x 84 = 42 x 48
34 x 86 = 43 x 68

1:3, 3:1 (or x3, x⅓)
12 x 63 = 21 x 36
13 x 93 = 31 x 39
23 x 96 = 32 x 69

1:4, 4:1 (or x4, x¼)
12 x 84 = 21 x 48

2:3, 3:2 (or x3/2, x⅔)
46 x 96 = 64 x 69
26 x 93 = 62 x 39
24 x 63 = 42 x 36

3:4, 4:3 (or x4/3, x¾)
36 x 84 = 63 x 48

…………………………………...…
In looking at the general case, a, b, c and d are defined as positive integers, where a ≠ b and c ≠ d.

(1) To find the relationship between a, b, c and d for two pairs of 2-digit numbers with equal products when their digits are reversed:

First 2-digit number: 10a + b
Second 2-digit number: 10c + d

So,
(10a + b)(10c + d) = (10b + a)(10d + c)

100ac + 10ad + 10bc + bd =
100bd + 10bc + 10ad + ac

100ac + bd = 100bd + ac

99ac = 99bd

ac = bd

(In the classroom this has led to the formula a = bd/c or similar.)
…………………………………...…

(2) To find the relationship between a, b, c and d for two pairs of 2-digit numbers with equal products when their digits and reversed and one number is doubled and the other halved:
As above, with following:
A. 2(10a + b) = 10d + c
B. ½(10c + d ) = 10b + a

(From A) I. 20a + 2b = 10d + c
(From B) II. 10c + d = 20b + 2a

Therefore,
(From II.) d = 20b + 2a – 10c
Substitute expression for d into I.

20a + 2b = 10(20b + 2a – 10c) + c
20a + 2b = 200b + 20a – 100c + c
2b = 200b – 100c + c
99c = 198b
c = 2b

Substitute expression for c into II.
10(2b) + d = 20b + 2a
20b + d = 20b + 2a
d = 2a

c = 2b, d = 2a
…………
Similarly, for equations in which the ratio differs:

1:3, 3:1 c = 3b, d = 3a
1:4, 4:1 c = 4b, d = 4a
2:3, 3:2 2c = 3b, 2d = 3a
3:4, 4:3 3c = 4b, 3d = 4a
…………………………………...…


List of solutions using ac = bd

a c b d
1 4 2 2
1 6 2 3
1 6 3 2
1 8 2 4
1 8 4 2
1 9 3 3
2 6 3 4
2 6 4 3
2 8 4 4
2 9 3 6
2 9 6 3
3 8 4 6
3 8 6 4
4 9 6 6

Results (Thai) 1:

24 x 21 = 42 x 12

ชุดที่สมบูรณ์ของตัวเลขสอง 2 หลักกับผลิตภัณฑ์เท่ากับตัวเลขที่ตรงกันข้ามเมื่อ: (. อัตราส่วนของคู่ของตัวเลขบนด้านซ้ายและขวามือของสมการเป็นตัวหนา)



01:02, 02:01 (หรือ x2, x ½)
13 x 62 = 31 x 26
14 x 82 = 41 x 28
23 x 64 = 32 x 46
24 x 84 = 42 x 48
34 x 86 = 43 x 68

1:3, 3:1 (หรือ x3, x ⅓)
12 x 63 = 21 x 36
13 x 93 = 31 x 39
23 x 96 = 32 x 69

01:04, 4 : 1 (หรือ x4, x ¼)
12 x 84 = 21 x 48

02:03, 03:02 (หรือ x3 / 2 x ⅔)
46 x 96 = 64 x 69
26 x 93 = 62 x 39
24 x 63 = 42 x 36

03:04, 04:03 (หรือ x4 / 3, x ¾)
36 x 84 = 63 x 48


............................................. ในการมองที่กรณีทั่วไป , B, C และ D จะถูกกำหนดเป็นจำนวนเต็มบวกที่≠ B และ C ≠ d.

(1) เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่าง A, B,c และ d สำหรับสองคู่ของตัวเลข 2 หลักกับผลิตภัณฑ์เท่ากับเมื่อตัวเลขของพวกเขาจะกลับ:

หมายเลข 2 หลักแรก: 10a b
เลข 2 หลักที่สอง: 10c d

ดังนั้น
(10a ข) (10c d) = (10b) (10d c)

100ac 10ad 10bc BD =
100bd 10bc 10ad ac

100ac BD = 100bd ac

99ac = 99bd

ac = BD

(ในห้องเรียนนี้ได้นำไปสู่ สูตร = BD / c หรือคล้ายกัน.)
.............................................

(2) เพื่อหาความสัมพันธ์ระหว่าง, B, C และ D สำหรับสองคู่ของตัวเลข 2 หลักกับผลิตภัณฑ์เท่ากับตัวเลขและเมื่อย้อนกลับไปและเป็นหนึ่งในจำนวนเป็นสองเท่าและอื่น ๆ ที่ลดลงครึ่งหนึ่งของพวกเขา:
ไว้ข้างต้นดังต่อไปนี้ :
2 (10a ข) = 10d ค
b ½ (10c ง) = 10b

(จาก) ฉัน 20a 2b = 10d ค
(จากข) ii 10c d = 20b 2a

ดังนั้น
(จาก ii.) d = 20b 2a - 10c
การแสดงออกแทน d เป็นผม

20a 2b = 10 (20b 2a - 10c) c. 20a
2b = 200b 20a - 100c C
2b = 200b - 100c 99c ค

= 198b c = 2b

แทนการแสดงออกสำหรับ C ลง ii
10 (2b) d = 2a
20b 20b 20b d = 2a
d = 2a

c = 2b, d = 2a

............ ในทำนองเดียวกันสำหรับสมการที่อัตราส่วนที่แตกต่าง:.

1 : 3, 3:01 c = 3b, d = 3a
1:4, 4:1 c = 4b, d = 4a
2:3, 3:2 2c = 3b, 2d = 3a
03:04, 4:3 3c = 4b, 3d = 4a
.............................................

รายชื่อของการแก้ปัญหาโดยใช้ AC = BD

ACBD
1 4 2 2
1 6 2 3
1 6 3 2
1 4 8 2
1 8 4 2 1 9
3
3 2 6 3 4
2 6 4 3
2 8 4 4
2 9 3 6
2 9 6 3
3 8 4 6
3 8 6 4
4 9 6 6

Results (Thai) 2:

24 x 21 = 42 x 12

ของสองตัวเลข 2 หลักผลิตภัณฑ์เท่ากับตัวเลขกลับชุด:

(อัตราส่วนคู่ของตัวเลขด้านซ้าย - และ right - hand ของสมการเป็นตัวหนา)

1:2, 2:1 (หรือ x 2, x½)
13 x 62 = 31 x 26
14 x 82 = 41 x 28
23 x 64 = 32 x 46
24 x 84 = 42 x 48
34 x 86 = 43 x 68

1:3, 3:1 (หรือ x 3, x⅓)
12 x 63 = 21 x 36
13 x 93 = 31 x 39
23 x 96 = 32 x 69

1:4, 4:1 (หรือ x 4, x¼)
12 x 84 = 21 x 48

2:3, 3:2 (หรือ x 3/2, x⅔)
46 x 96 = 64 x 69
26 x 93 = 62 x 39
24 x 63 = 42 x 36

3:4, 4:3 (หรือ 4 x 4/3, x¾)
36 x 84 = 63 x 48

...
ในกรณีทั่วไป a, b, c และ d มีกำหนดเป็นจำนวนเต็มบวก ซึ่ง≠ b และ c ≠ d.

(1) หาความสัมพันธ์ระหว่างการ, b c และ d สำหรับสองคู่ของตัวเลข 2 หลักเท่าผลิตภัณฑ์เมื่อมีการกลับรายการหลักของพวกเขา:

เลข 2 หลักแรก: 10a b
สองเลข 2 หลัก: 10c d

เพื่อ
(10a b) (10 c d) = (10 ขเป็น)(10d c)

100ac 10ad 10bc bd =
100bd 10bc 10ad ac

100ac bd = 100bd ac

99ac = 99bd

ac = bd

(ในห้องเรียน นี้ได้นำไปสู่สูตรเป็น = bd/c หรือคล้าย)
…………………………………......

(2) หาความสัมพันธ์ระหว่าง a, b, c และ d สำหรับสองคู่ของตัวเลข 2 หลักกับผลิตภัณฑ์เท่าเมื่อตำแหน่งของพวกเขา และกลับ และหมายเลขหนึ่งเป็นสองเท่า และอื่น ๆ ถูกแบ่งครึ่ง:
ดังกล่าว มีดังต่อไปนี้:
A. 2 (10a b) = c 10d
B. ½ (10 c d) = 10 ขการ
2b
(From A) I. 20a = 10 d c
(From B) II 10c d = 20b 2a

ดังนั้น
(From II.) d = 2a 20b-10 c
แทนนิพจน์สำหรับ d เป็น I.

2b ของ 20a = 10 (20b 2a – 10c) c
2b ของ 20a = 200b 20a – 100 c c
2b = 200b-100 c c
99 c = 198b
c = 2b

แทนนิพจน์สำหรับ c เป็น II.
10(2b) d = 20b 2a
20b d = 20b 2a
d = 2a

c = 2b, d = 2a
...
คล้ายกัน สำหรับสมการอัตราส่วนแตกต่าง:

1:3, 3:1 c = 3b, d = 3a
1:4, d c 4:1 = 4b = 4a
2:3, 3:2 2 c = 3b, 2d = 3a
3:4, 4:3 3 c = 4b, 3d = 4a
...


รายการของโซลูชันที่ใช้ ac = bd

c b d
1 4 2 2
1 6 2 3
1 6 3 2
1 8 2 4
1 8 4 2
1 9 3 3
2 6 3 4
2 6 4 3
2 8 4 4
2 9 3 6
2 9 6 3
3 8 4 6
3 8 6 4
4 9 6 6

Results (Thai) 3:

24 x 21 = 42 x 12

ที่เสร็จสมบูรณ์การตั้งค่าของทั้งสอง 2 - หลักพร้อมด้วยเท่ากับ ผลิตภัณฑ์ เมื่อหลักสลับกัน:

(อัตราส่วนของคู่ของหมายเลขที่ด้านซ้ายและขวามือด้านข้างของที่สมการเป็นตัวหนา)

1 : 2 , 2 : 1 (หรือ X 2 , x ละอองธุลีพระบาท)
13 x 62 = 31 x 26 ~ 14 x 82 = 41 x 28 ~ 23 x 64 = 32 x 46 ~ 24 x 84 = 42 x 48 ~ 34 x 86 = 43 x 68

1 : 3 , 3 : 1 (หรือ x3 , x⅓ )
12 x 63 = 21 x 36 ~ 13 x 93 = 31 x 39 ~ 23 x 96 = 32 x 69

1 : 4 , 4 : 1 (หรือ x 4 , x เพล)
12 x 84 = 21 x 48

2 : 3 และ 3 : 2 (หรือ X 3 / 2 , x⅔ )
46 x 96 = 64 x 69 ~ 26 x 93 = 62 x 39 ~ 24 x 63 = 42 x 36

3 : 4 , 4 : 3 (หรือ x 4 / 3 , x โพ)
36 x 84 = 63 x 48

………………………………… ...
...................ในการค้นหาที่ทั่วไปกรณี, A , B , C และ D เป็นไปตามที่กำหนดไว้เป็นบวก integers สถานที่ซึ่ง ≠ B และ C ≠ D .

( 1 )เพื่อค้นหาความสัมพันธ์ระหว่าง, B ,C และ D สำหรับสองคู่ของ 2 - หลักพร้อมด้วยเท่ากับ ผลิตภัณฑ์ เมื่อหลักสลับ:

ครั้งแรก 2 - หลัก: 10 A , B
ที่สอง 2 - หลัก: 10 C D

ดังนั้น,
( 10 a , b )( 10 C D )=( 10 B )( 10 d , c )

100 AC 10 เครือข่าย 10 , BC BD =
100 BD 10 , BC 10 เครือข่าย AC

100 AC BD = 100 BD AC

99 AC = 99 BD

AC = BD

(ในที่นี้มีห้องเรียนให้สูตร= BD / C หรือ similar.)
………………………………… ...........................

( 2 )เพื่อค้นหาความสัมพันธ์ระหว่าง A , B , C และ D สำหรับสองคู่ของ 2 - หลักพร้อมด้วยเท่ากับ ผลิตภัณฑ์ เมื่อหลักและพลิกกลับและหมายเลขหนึ่งเป็นสองเท่าและที่อื่นๆผ่าครึ่ง):
เป็นเหนือ,พร้อมด้วยสิ่งต่างๆดังต่อไปนี้:
A . 2 ( 10 B )= 10 d , C
B . ประจัน( 10 C D )= 10 B

(จาก A ) I 202 B = 10 d , C
(จาก B )ที่ระดับ II D 10 C = 20 B 2 A

ดังนั้น
(จาก II ) d = 20 B 2 - 10 C
แทนการแสดงสำหรับ D เข้ากับ I .

20 A 2 B = 10 ( 20 B 2 - 10 C ) C
20 A 2 B = 200 B 20 - 100 C
2 B = 200 b - 100 C
99 c = 198 B
c = 2 b

แทนการแสดงสำหรับ C ใน II
10 ( 2 B ) D = 20 B , 2
ซึ่งจะช่วย 20 B , D = 20 B , 2
ซึ่งจะช่วย D = 2 A

C = 2 B , D = 2 A
.................................................
ในทำนองเดียวกัน,สำหรับโมเดลที่อัตราความแตกต่าง:

1 : 3 , 3 : 1 C = 3 B , D = 3 A
1 : 4 , 4 : 1 C = 4 B , D = 4
2 : 3 , 3 : 22 C = 3 B , 2 D = 3 A
3 : 4 , 4 :33 C = 4 B , 3 d = 4a
………………………………… ......


รายการของโซลูชันโดยใช้ไฟ AC = BD

A , C , B 1 , 4 D

122623163

12824184

12933263

24643284

24936296

33846386

44966