Figure 3. Children at Level 2 can d

Figure 3. Children at Level 2 can draw a logical map of parallelograms.
Pierre van Hiele wrote: “My experience as a teacher of geometry convinces me that all too often, students have not yet achieved this level of informal deduction. Consequently, they are not successful in their study of the kind of geometry that Euclid created, which involves formal deduction.”
Level 3 Deduction (Formal deduction)
At this level students can give deductive geometric proofs. They are able to differentiate between necessary and sufficient conditions. They identify which properties are implied by others. They understand the role of definitions, theorems, axioms and proofs.
Level 4 Rigor
At this level students understand the way how mathematical systems are established. They are able to use all types of proofs. They comprehend Euclidean and non-Euclidean geometry. They are able to describe the effect of adding or removing an axiom on a given geometric system.
Properties of levels
The levels have five important characteristics:
Fixed sequence (order)
A student cannot be at level N without having gone through level (N-1). Therefore, the student must go through the levels in order.
Adjacency
At each level, what was intrinsic in the preceding level becomes extrinsic in the current level.
Distinction
Each level has its own linguistic symbols and its own network of relationships connecting those symbols. The meaning of a linguistic symbol is more than its explicit definition; it includes the experiences which the speaker associates with the given symbol. What may be “correct” at one level is not necessarily correct at another level.
Separation
Two persons at different levels cannot understand each other. The teacher speaks a different “language” to the student at a lower level. The van Hieles thought this property was one of the main reasons for failure in geometry.
Attainment
The learning process leading to complete understanding at the next level has five phases - information, guided orientation, explanation, free orientation, integration, which are approximately not strictly sequential.

Results (Vietnamese) 1:

Hình 3. Trẻ em ở cấp 2 có thể vẽ bản đồ hợp lý của parallelograms.Pierre van Hiele đã viết: "kinh nghiệm của tôi như là một giáo viên của hình học thuyết phục tôi rằng tất cả các quá thường xuyên, học sinh có không chưa đạt được mức độ không chính thức khấu trừ. Do đó, họ là không thành công trong học tập của các loại hình học Euclid tạo ra, liên quan đến việc khấu trừ chính thức."Khấu trừ cấp 3 (chính thức khấu trừ)Lúc này cấp học sinh có thể đưa ra suy luận chứng minh hình học. Họ có thể phân biệt giữa các điều kiện cần và đủ. Họ xác định tài sản đó được ngụ ý bởi những người khác. Họ hiểu vai trò của các định nghĩa, định lý, tiên đề và chứng minh.Sự chặt chẽ của cấp độ 4Lúc này học sinh cấp hiểu cách làm thế nào hệ thống toán học được thành lập. Họ có thể sử dụng tất cả các loại bằng chứng. Họ thấu hiểu hình học Euclide và phi Euclid. Họ có thể để mô tả ảnh hưởng của cách thêm hoặc loại bỏ một tiên đề trên một hệ thống nhất định hình học.Các thuộc tính của các cấpCác cấp có năm đặc điểm quan trọng:Cố định thứ tự (order)Một học sinh không thể cấp N mà không có đi qua cấp độ (N-1). Do đó, học sinh phải đi qua các cấp theo thứ tự.KềỞ mỗi cấp, những gì là nội tại trong cấp độ trước sẽ trở thành bên ngoài ở mức hiện nay.Sự khác biệtMỗi cấp có biểu tượng ngôn ngữ riêng của mình và của riêng mạng lưới các mối quan hệ kết nối những biểu tượng. Ý nghĩa của biểu ngữ là nhiều hơn so với định nghĩa rõ ràng của nó; nó bao gồm những kinh nghiệm mà loa kết hợp với các biểu tượng nhất định. Những gì có thể "đúng" ở một mức độ không phải là nhất thiết phải chính xác ở cấp khác.Ly thânHai người ở các cấp độ khác nhau không thể hiểu lẫn nhau. Các giáo viên nói một ngôn ngữ"khác" cho học sinh ở một mức độ thấp hơn. Van Hieles nghĩ rằng tài sản này là một trong những lý do chính cho sự thất bại trong hình học.Đạt đượcQuá trình học tập dẫn đến sự hiểu biết ở cấp độ tiếp theo hoàn thành có giai đoạn 5 - thông tin, hướng dẫn định hướng, giải thích, hướng miễn phí, hội nhập, mà khoảng không đúng thứ tự.

Results (Vietnamese) 2:

Hình 3. Trẻ em ở cấp 2 có thể vẽ một bản đồ logic của hình bình hành.
Pierre van Hiele đã viết: "Kinh nghiệm của tôi là một giáo viên của hình học thuyết phục tôi rằng tất cả các quá thường xuyên, sinh viên chưa đạt được mức độ khấu trừ phi chính thức. Do đó, họ không thành công trong nghiên cứu của họ về loại hình học Euclid tạo ra, trong đó có việc trích chính thức. "
Cấp 3 trừ lùi (trích chính)
Tại đây sinh viên trình độ có thể cung cấp bằng chứng hình học suy luận. Họ có thể phân biệt giữa các điều kiện cần và đủ. Họ xác định được tính chất này được ngụ ý bởi những người khác. Họ hiểu được vai trò của các định nghĩa, định lý, tiên đề và chứng minh.
Level 4 sự chặt chẽ
Ở cấp độ này học sinh hiểu được cách làm thế nào hệ thống toán học được thành lập. Họ có thể sử dụng tất cả các loại giấy tờ chứng minh. Họ hiểu hình học Euclide và phi Euclide. Họ có thể mô tả hiệu ứng của việc thêm hoặc loại bỏ một tiên đề trên một hệ thống hình học nhất định.
Thuộc tính của các cấp
Các cấp có năm đặc điểm quan trọng:
trình tự cố định (theo thứ tự)
Một sinh viên không thể ở cấp độ N mà không cần phải trải qua mức độ (N-1 ). Vì vậy, học sinh phải đi qua các cấp độ theo thứ tự.
Host ở
Ở mỗi cấp độ, những gì là bản chất trong mức độ trước đó trở thành bên ngoài ở mức hiện tại.
Phân biệt
Mỗi cấp độ có các ký hiệu ngôn ngữ riêng của mình và mạng lưới riêng của các mối quan hệ kết nối những biểu tượng. Ý nghĩa của biểu tượng ngôn ngữ là hơn định nghĩa rõ ràng của nó; nó bao gồm những kinh nghiệm mà công ty liên kết loa với các biểu tượng nhất định. Những gì có thể "sửa chữa" ở một mức độ không nhất thiết phải chính xác tại một cấp độ khác.
Tách
Hai người ở các cấp độ khác nhau không thể hiểu nhau. Các giáo viên nói "ngôn ngữ" khác nhau để học sinh ở mức độ thấp hơn. . Các van Hieles nghĩ khách sạn này là một trong những lý do chính cho sự thất bại trong hình học
đạt được
các quá trình học tập hàng đầu để hoàn thành sự hiểu biết ở cấp tiếp theo có năm giai đoạn - thông tin, hướng dẫn, giải thích, định hướng miễn phí, hội nhập, mà là khoảng không đúng tuần tự.