1 IntroductionFor most students, th

1 Introduction
For most students, the first and often only area of mathematics in college is calculus. And
it is true that calculus is the single most important field of mathematics, whose emergence
in the 17th century signalled the birth of modern mathematics and was the key to the
successful applications of mathematics in the sciences.
But calculus (or analysis) is also very technical. It takes a lot of work even to introduce
its fundamental notions like continuity or derivatives (after all, it took 2 centuries just
to define these notions properly). To get a feeling for the power of its methods, say by
describing one of its important applications in detail, takes years of study.
If you want to become a mathematician, computer scientist, or engineer, this investment
is necessary. But if your goal is to develop a feeling for what mathematics is all about,
where is it that mathematical methods can be helpful, and what kind of questions do
mathematicians work on, you may want to look for the answer in some other fields of
mathematics.
There are many success stories of applied mathematics outside calculus. A recent hot
topic is mathematical cryptography, which is based on number theory (the study of positive
integers 1,2,3,...), and is widely applied, among others, in computer security and electronic
banking. Other important areas in applied mathematics include linear programming, coding
theory, theory of computing. The mathematics in these applications is collectively called
discrete mathematics. (“Discrete” here is used as the opposite of “continuous”; it is also
often used in the more restrictive sense of “finite”.)
The aim of this book is not to cover “discrete mathematics” in depth (it should be clear
from the description above that such a task would be ill-defined and impossible anyway).
Rather, we discuss a number of selected results and methods, mostly from the areas of
combinatorics, graph theory, and combinatorial geometry, with a little elementary number
theory.
At the same time, it is important to realize that mathematics cannot be done without
proofs. Merely stating the facts, without saying something about why these facts are valid,
would be terribly far from the spirit of mathematics and would make it impossible to give
any idea about how it works. Thus, wherever possible, we’ll give the proofs of the theorems
we state. Sometimes this is not possible; quite simple, elementary facts can be extremely
difficult to prove, and some such proofs may take advanced courses to go through. In these
cases, we’ll state at least that the proof is highly technical and goes beyond the scope of
this book.
Another important ingredient of mathematics is problem solving. You won’t be able
to learn any mathematics without dirtying your hands and trying out the ideas you learn
about in the solution of problems. To some, this may sound frightening, but in fact most
people pursue this type of activity almost every day: everybody who plays a game of chess,
or solves a puzzle, is solving discrete mathematical problems. The reader is strongly advised
to answer the questions posed in the text and to go through the problems at the end of
each chapter of this book. Treat it as puzzle solving, and if you find some idea that you
come up with in the solution to play some role later, be satisfied that you are beginning to
get the essence of how mathematics develops.
We hope that we can illustrate that mathematics is a building, where results are built
5on earlier results, often going back to the great Greek mathematicians; that mathematics
is alive, with more new ideas and more pressing unsolved problems than ever; and that
mathematics is an art, where the beauty of ideas and methods is as important as their
difficulty or applicability

Results (Thai) 1:

แนะนำ 1
สำหรับนักเรียน first และบ่อยเท่าพื้นที่ของคณิตศาสตร์ในวิทยาลัยเป็นแคลคูลัส และ
มันเป็นความจริงว่าแคลคูลัส field สำคัญเดียววิชาคณิตศาสตร์ ที่เกิดขึ้น
signalled ในศตวรรษที่ 17 เกิดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และเป็นกุญแจสำคัญที่จะ
โปรแกรมสำเร็จของคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์
แต่แคลคูลัส (หรือวิเคราะห์) เป็นเทคนิคมากขึ้น มันใช้เวลามากแม้แต่การแนะนำ
ความเข้าใจเป็นพื้นฐานเช่นความต่อเนื่องหรืออนุพันธ์ (หลังทั้งหมด ใช้เวลา 2 ศตวรรษเพียง
เพื่อ define ความเข้าใจเหล่านี้อย่างถูกต้อง) รับความรู้สึกในอำนาจของวิธีการ พูดโดย
อธิบายหนึ่งของโปรแกรมประยุกต์ที่สำคัญในรายละเอียด ใช้ปีของการศึกษา
ถ้าคุณต้องการ เป็นนักคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ หรือวิศวกร ลงทุนนี้
จำเป็นต้อง แต่ ถ้าเป้าหมายของคุณคือการ พัฒนาความรู้สึกสำหรับคณิตศาสตร์อะไรที่เกี่ยวกับ,
ที่จะเป็นที่วิธีการทางคณิตศาสตร์มีประโยชน์ และชนิดของคำถามทำ
mathematicians ทำงานบน คุณอาจต้องการค้นหาคำตอบในบาง fields อื่น ๆ ของ
คณิตศาสตร์.
มีหลายเรื่องราวความสำเร็จของคณิตศาสตร์ประยุกต์นอกแคลคูลัส ล่าสุดร้อน
หัวข้อคือ การเข้ารหัสทางคณิตศาสตร์ ซึ่งตามทฤษฎีจำนวน (วิชาบวก
เต็ม 1,2,3,...), และอย่างกว้างขวางใช้ หมู่คนอื่น ๆ ความปลอดภัยคอมพิวเตอร์ และอิเล็กทรอนิกส์
ธนาคาร พื้นที่อื่น ๆ สำคัญในคณิตศาสตร์ประยุกต์รวมเชิงเส้น รหัส
ทฤษฎี ทฤษฎีการคำนวณ เรียกรวมกันว่าคณิตศาสตร์ในโปรแกรมประยุกต์เหล่านี้
คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง ("เดี่ยวๆ" ที่นี่ใช้เป็นตรงข้ามของ "ต่อเนื่อง" เป็น
มักใช้ในความเข้มงวดมากขึ้นของ "finite")
จุดมุ่งหมายของหนังสือเล่มนี้จะไม่ครอบคลุม "คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง" ในลึก (ควรมีความชัดเจน
จากคำอธิบายข้างต้น ดังกล่าวเป็นงานจะป่วย-defined และเป็นไปไม่ได้หรือ) .
ค่อนข้าง เราหารือเกี่ยวกับผลการเลือกและวิธีการ ส่วนใหญ่จากพื้นที่ของ
คณิตศาสตร์เชิงการจัด ทฤษฎีกราฟ และปัญหา เรขาคณิต มีเล็กน้อยระดับประถมศึกษา
ทฤษฎี.
ในเวลาเดียวกัน จึงควรตระหนักว่า คณิตศาสตร์ไม่สามารถทำโดย
ปรู๊ฟ เพียงแค่ระบุข้อเท็จจริง ไม่ มีคำพูดบางอย่างเกี่ยวกับเหตุผลข้อเท็จจริงถูกต้อง,
จะเป็นฟ้าจากจิตวิญญาณของวิชาคณิตศาสตร์ และจะทำให้มันเป็นไปไม่ได้ให้
ความคิดใด ๆ เกี่ยวกับวิธีการทำงาน ดังนั้น เป็นไป เราจะให้หลักฐานของทฤษฎีการ
เรารัฐ บางครั้งนี้เป็นไปไม่ได้ ข้อเท็จจริงค่อนข้างง่าย ระดับประถมศึกษาได้อย่างมาก
difficult พิสูจน์ และหลักฐานดังกล่าวอาจใช้หลักสูตรขั้นสูงผ่านไปได้ ในนี้
กรณี เราจะรัฐน้อยว่า หลักฐานมีเทคนิคสูง และเกินขอบเขตของ
หนังสือเล่มนี้
อีกส่วนประกอบที่สำคัญของคณิตศาสตร์คือ ปัญหาแก้ คุณจะไม่สามารถ
เรียนคณิตศาสตร์ใด ๆ ไม่ มี dirtying มือ และพยายามออกไอเดียที่คุณเรียนรู้
เกี่ยวกับในการแก้ปัญหาของปัญหา บาง นี้อาจเสียงน่า กลัว แต่ ในความเป็นจริงมากที่สุด
คนดำเนินกิจกรรมชนิดนี้เกือบทุกวัน: ทุกคนที่เล่นเกมหมากรุก,
หรือแก้ปริศนา เป็นการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง ผู้อ่านเป็นอย่างยิ่ง
เพื่อตอบคำถามในข้อความที่ทำให้เกิด และผ่านปัญหาจบ
แต่ละบทของหนังสือเล่มนี้ รักษาแก้ปริศนา และถ้าคุณ find ความคิดบางอย่างที่คุณ
มาด้วยในการแก้ปัญหาบทบาทบางส่วนในภายหลัง ถูก satisfied ที่คุณจะเริ่ม
รับสาระสำคัญของการพัฒนาคณิตศาสตร์
เราหวังว่า เราสามารถแสดงว่าคณิตศาสตร์อาคาร ที่สร้างผลลัพธ์
5on ผลลัพธ์ก่อนหน้า มักจะกลับไปยังกรีก mathematicians มาก คณิตศาสตร์ที่
มีชีวิตอยู่ มีความคิดใหม่เพิ่มเติมและเพิ่มเติมกดยังไม่ได้แก้ไขปัญหากว่าเดิม และ
คณิตศาสตร์เป็นศิลปะ สำคัญความสวยงามความคิดและวิธีการของพวกเขา
difficulty หรือความเกี่ยวข้องของ

Results (Thai) 2:

1 ความรู้เบื้องต้น
สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่แรกไฟและพื้นที่มักจะเป็นเพียงของคณิตศาสตร์ในวิทยาลัยเป็นแคลคูลัส และ
มันเป็นความจริงว่าแคลคูลัสเป็นไฟไหม้ครั้งเดียวที่สำคัญที่สุดไฟของคณิตศาสตร์ซึ่งเกิดขึ้น
ในศตวรรษที่ 17 ส่งสัญญาณการเกิดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่และเป็นกุญแจสำคัญในการ
ประสบความสำเร็จในการใช้งานของคณิตศาสตร์ในวิทยาศาสตร์
แต่แคลคูลัส (หรือการวิเคราะห์) นอกจากนี้ยังมีมาก ทางเทคนิค มันใช้เวลามากในการทำงานแม้จะแนะนำ
ความคิดพื้นฐานที่ต้องการความต่อเนื่องหรือสัญญาซื้อขายล่วงหน้า (หลังจากทั้งหมดมันต้องใช้เวลา 2 ศตวรรษที่เพียงแค่
ไปที่สายตะวันออกเฉียงเหนือความคิดเหล่านี้อย่างถูก) ที่จะได้รับความรู้สึกสำหรับพลังของวิธีการพูดโดย
อธิบายหนึ่งในโปรแกรมที่สำคัญในรายละเอียดจะใช้เวลาปีของการศึกษา
หากคุณต้องการที่จะเป็นนักคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์หรือวิศวกร, การลงทุนนี้
เป็นสิ่งที่จำเป็น แต่ถ้าเป้าหมายของคุณคือการพัฒนาความรู้สึกสำหรับสิ่งที่คณิตศาสตร์เป็นข้อมูลเกี่ยวกับ
ที่มันเป็นว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์จะมีประโยชน์และสิ่งที่ชนิดของคำถามทำ
คณิตศาสตร์ทำงานกับคุณอาจต้องการที่จะมองหาคำตอบในบาง elds ไฟอื่น ๆ ของ
คณิตศาสตร์ .
มีเรื่องราวความสำเร็จหลายคณิตศาสตร์ประยุกต์นอกแคลคูลัสเป็น ร้อนที่ผ่านมา
เป็นหัวข้อการเข้ารหัสทางคณิตศาสตร์ซึ่งจะขึ้นอยู่กับทฤษฎีจำนวน (การศึกษาในเชิงบวก
จำนวนเต็ม 1,2,3, ... ), และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในหมู่คนอื่น ๆ ในการรักษาความปลอดภัยคอมพิวเตอร์และอิเล็กทรอนิกส์
ของธนาคาร พื้นที่อื่น ๆ ที่สำคัญในวิชาคณิตศาสตร์ประยุกต์รวมถึงการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเข้ารหัส
ทฤษฎีทฤษฎีของคอมพิวเตอร์ คณิตศาสตร์ในโปรแกรมเหล่านี้ถูกเรียกว่า
คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง ("แยก" ที่นี่จะใช้เป็นตรงข้ามของ "อย่างต่อเนื่อง"; มันก็ยัง
. มักใช้ในความหมายที่ จำกัด มากขึ้นของ "ไฟ Nite")
จุดมุ่งหมายของหนังสือเล่มนี้ไม่ได้เพื่อให้ครอบคลุม "คณิตศาสตร์โดยสิ้นเชิง" ในเชิงลึก (มันควรจะเป็น ที่ชัดเจน
จากคำอธิบายข้างต้นว่างานดังกล่าวจะไม่ดีนิยามและเป็นไปไม่ได้อยู่แล้ว)
แต่เราหารือเกี่ยวกับจำนวนของผลการเลือกและวิธีการส่วนใหญ่มาจากพื้นที่ของ
combinatorics ทฤษฎีกราฟและรูปทรงเรขาคณิต combinatorial มีจำนวนเบื้องต้นเล็ก ๆ น้อย ๆ
ทฤษฎี
ในขณะเดียวกันก็เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องตระหนักว่าคณิตศาสตร์ไม่สามารถทำได้โดยไม่ต้อง
พิสูจน์ เพียงระบุข้อเท็จจริงโดยไม่ต้องพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับสาเหตุข้อเท็จจริงเหล่านี้มีความถูกต้อง
จะเป็นชะมัดไกลจากจิตวิญญาณของคณิตศาสตร์และจะทำให้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะให้
ความคิดเกี่ยวกับวิธีการทำงานใด ๆ ดังนั้นหากเป็นไปได้เราจะให้พิสูจน์ทฤษฎีบท
ที่เราระบุ บางครั้งนี้เป็นไปไม่ได้ที่; ค่อนข้างง่ายข้อเท็จจริงเบื้องต้นสามารถมาก
ลัทธิดิ FFI ที่จะพิสูจน์และบางหลักฐานดังกล่าวอาจใช้หลักสูตรขั้นสูงที่จะผ่านไป เหล่านี้ใน
กรณีที่เราจะระบุอย่างน้อยที่เป็นหลักฐานทางเทคนิคสูงและนอกเหนือไปจากขอบเขตของ
หนังสือเล่มนี้
อีกส่วนผสมที่สำคัญของคณิตศาสตร์คือการแก้ปัญหา คุณจะไม่สามารถ
ที่จะเรียนรู้คณิตศาสตร์ใด ๆ โดยไม่ทำให้เปื้อนเปรอะมือของคุณและพยายามออกความคิดที่คุณได้เรียนรู้
เกี่ยวกับในการแก้ปัญหา บางนี้อาจจะฟังดูน่ากลัว แต่ในความเป็นจริงมากที่สุด
คนไล่ตามประเภทของกิจกรรมเกือบทุกวันนี้ทุกคนที่เล่นเกมหมากรุก,
หรือแก้ปริศนาคือการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์โดยสิ้นเชิง ผู้อ่านจะควรอย่างยิ่ง
ที่จะตอบคำถามที่ถูกวางในข้อความและผ่านไปปัญหาในตอนท้ายของ
บทของหนังสือเล่มนี้ในแต่ละ รักษามันเป็นการแก้ปริศนาและถ้าคุณ fi ครั้งความคิดบางอย่างที่คุณ
มาด้วยในการแก้ปัญหาที่จะเล่นบทบาทบางส่วนต่อมาเป็น satis เอ็ด Fi ที่คุณจะเริ่ม
ได้รับสาระสำคัญของวิธีการทางคณิตศาสตร์พัฒนา
เราหวังว่าเราสามารถแสดงให้เห็นถึงคณิตศาสตร์ที่เป็น อาคารที่ถูกสร้างขึ้นผล
5 โดยผลการก่อนหน้านี้มักจะกลับไปที่นักคณิตศาสตร์กรีกที่ดี; คณิตศาสตร์ที่
มีชีวิตอยู่กับความคิดใหม่มากขึ้นและแก้ปัญหาเร่งด่วนมากขึ้นกว่าเดิม; และ
คณิตศาสตร์เป็นศิลปะที่ความงามของความคิดและวิธีการที่สำคัญเป็นของพวกเขา
culty ดิ FFI หรือการบังคับ

Results (Thai) 3:

1 บทนำ
สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ จึงตัดสินใจเดินทางบ่อยและพื้นที่เฉพาะของคณิตศาสตร์ในมหาวิทยาลัยแคลคูลัส และ
มันจะเป็นจริงว่า แคลคูลัส คือสิ่งสำคัญที่สุดในสาขาของคณิตศาสตร์จึงมีงอก
ในศตวรรษที่ 17 เป็นสัญญาณการเกิดของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และเป็นกุญแจที่จะ
การใช้งานที่ประสบความสำเร็จของคณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ .
แต่แคลคูลัส ( หรือการวิเคราะห์ ) ก็เป็นเทคนิคมากมันใช้เวลามากของการทำงาน แม้ความคิดพื้นฐานของมันอย่างต่อเนื่องแนะนำ
หรือ อนุพันธ์ ( หลังจากทั้งหมด มันใช้เวลาแค่ 2 ศตวรรษ
de จึงเน่เหล่านี้ความคิดที่ถูกต้อง ) เพื่อรับความรู้สึกสำหรับพลังของวิธีการพูดโดย
อธิบายหนึ่งของการใช้งานที่สำคัญในรายละเอียด จะใช้เวลาปีของการศึกษา .
ถ้าคุณต้องการที่จะเป็นนักคณิตศาสตร์ นักวิทยาศาสตร์ หรือวิศวกรคอมพิวเตอร์ ซึ่งการลงทุน
เป็นสิ่งที่จำเป็น แต่ถ้าเป้าหมายของคุณคือการ พัฒนาความรู้สึกทางคณิตศาสตร์คืออะไรทั้งหมดเกี่ยวกับ
ที่เป็นวิธีการทางคณิตศาสตร์จะเป็นประโยชน์ และชนิดของคำถามทำ
นักคณิตศาสตร์ทำงานบน คุณอาจต้องการที่จะค้นหาคำตอบได้ในบางอื่น ๆของคณิตศาสตร์จึง elds
.
ยังมีเรื่องราวความสำเร็จมากในคณิตศาสตร์ประยุกต์ ข้างนอก แคลคูลัส ล่าสุดร้อน
เป็นหัวข้อทางคณิตศาสตร์การเข้ารหัส ,ซึ่งอยู่บนพื้นฐานของทฤษฎีหมายเลข ( การศึกษาบวก
จำนวนเต็ม 1 , 2 , 3 , . . . ) และมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในหมู่คนอื่น ๆ ในการรักษาความปลอดภัยคอมพิวเตอร์และอิเล็กทรอนิกส์

พื้นที่อื่น ๆที่สำคัญในคณิตศาสตร์ประยุกต์รวมถึงการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ,
ทฤษฎีการเข้ารหัสทฤษฎีของการคำนวณ คณิตศาสตร์ในโปรแกรมประยุกต์เหล่านี้รวมเรียกว่า
คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง .( " แบ่งแยก " ที่นี่เป็นตรงข้ามของ " อย่างต่อเนื่อง " ; ยังเป็นที่เข้มงวดมากขึ้น
มักจะใช้ในความรู้สึกของ " จึง ไนท์ " )
จุดมุ่งหมายของหนังสือเล่มนี้คือไม่ครอบคลุม " คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง " ลึก ( ควรล้าง
จากคำอธิบายข้างต้นว่า งานดังกล่าวจะ ป่วย de จึงเน็ดและเป็นไปไม่ได้อยู่แล้ว )
แต่เราหารือเกี่ยวกับจำนวนของผลลัพธ์และวิธีการที่เลือก ส่วนใหญ่มาจากพื้นที่ของ
คณิตศาสตร์เชิงการจัด ทฤษฎีกราฟและทฤษฎีจำนวนเชิงเรขาคณิต ที่มีระดับน้อย
.
ในเวลาเดียวกัน มันเป็นสิ่งสำคัญที่ต้องตระหนักว่าไม่สามารถคณิตศาสตร์ได้โดยไม่
ปรู๊ฟ . แค่พูดความจริง ไม่พูดเรื่องเหตุผล ข้อเท็จจริงเหล่านี้ถูกต้อง
จะโคตรไกลจากจิตวิญญาณของคณิตศาสตร์และทำให้มันเป็นไปไม่ได้ที่จะให้
ความคิดใด ๆเกี่ยวกับวิธีการทํางาน ดังนั้นหากเป็นไปได้ เราก็ให้พิสูจน์ทฤษฎีบท
เรารัฐ บางครั้งนี้เป็นไปไม่ได้ ค่อนข้างง่าย ข้อเท็จจริงเบื้องต้นสามารถมาก
. ffiศาสนาเพื่อพิสูจน์ และบางอย่างเช่นการพิสูจน์อาจใช้หลักสูตรขั้นสูงเพื่อไปผ่าน ในกรณีเหล่านี้
เราจะรัฐอย่างน้อยหลักฐานทางเทคนิคสูงและอยู่นอกเหนือขอบเขตของ

หนังสือเล่มนี้อีกส่วนผสมที่สำคัญของคณิตศาสตร์คือการแก้ไขปัญหา คุณจะไม่สามารถที่จะเรียนรู้คณิตศาสตร์โดยไม่
แปดเปื้อนมือของคุณและพยายามออกความคิดที่คุณเรียนรู้
ในการแก้ปัญหา . บาง นี้อาจฟังดูน่ากลัว แต่ในความเป็นจริงคนส่วนใหญ่
ไล่ตามประเภทของกิจกรรมเกือบทุกวัน : ทุกคนที่เล่นเกมของหมากรุก ,
หรือแก้ปริศนาคือการแก้โจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์แบบไม่ต่อเนื่อง ผู้อ่านจะขอแนะนำ
ตอบคำถามถูกวางในข้อความ และผ่านปัญหาที่ส่วนท้ายของ
แต่ละบทของหนังสือเล่มนี้ รักษาโดยการแก้ปริศนา และถ้าคุณมีความคิดที่คุณ
จึงครั้งที่มากับในการแก้ปัญหาที่จะเล่นบทบาทบางอย่างในภายหลัง ให้พอจึงเอ็ดที่คุณจะเริ่มได้รับสาระคณิตศาสตร์

วิธีการพัฒนาเราหวังว่า เราสามารถแสดงให้เห็นว่าคณิตศาสตร์เป็นอาคารที่สร้างขึ้น
5on ผลผลก่อนหน้านี้มักจะกลับไปเยี่ยมนักคณิตศาสตร์กรีก ; คณิตศาสตร์
ยังมีชีวิตอยู่กับความคิดใหม่มากขึ้น และที่สำคัญยังไม่แก้ปัญหายิ่งกว่าเดิม และนั่น
คณิตศาสตร์เป็นศิลปะที่มีความงามของความคิดและวิธีการ คือ ที่สำคัญของพวกเขา
ตี้ffi culty หรือมาส