The teaching of school mathematics—

The teaching of school mathematics—geometry and arithmetic—has been a source of many misunderstandings. Secondary school geometry was for a long time based on the formal axiomatic geometry that Euclid created more than 2000 years ago.
His logical construction of geometry with its axioms, definitions, theorems, and proofs was— for its time—an admirable scientific achievement. School geometry that is presented in a similar axiomatic fashion assumes that students think on a formal deductive level. However, that is usually not the case, and they lack prerequisite understandings about geometry. This lack creates a gap between their level of thinking and that required for the geometry that they are expected to learn.
A similar misunderstanding is seen in the teaching of arithmetic in elementary school. As had been done by Euclid in geometry, mathematicians developed axiomatic constructions for arithmetic, which subsequently affected the arithmetic taught in schools. In the 1950s, Piaget and I took a stand against this misunderstanding. However, it did not help, for just then, set theory was established as the foundation for number, and school arithmetic based on sets was implemented worldwide in what was commonly called the “new math.” For several years, this misconception dominated school math- ematics, and the end came only after negative results were reported. Piaget’s point of view, which I support affectionately, was that “giving no educa- tion is better than giving it at the wrong time.” We must provide teaching that is appropriate to the level of children’s thinking.

Results (Vietnamese) 1:

Việc giảng dạy của trường toán học-hình học và số học — đã là một nguồn nhiều hiểu lầm. Trường trung học hình học một thời gian dài dựa trên chính thức tiên đề hình học Euclid tạo hơn 2000 năm trước đây.Ông xây dựng hợp lý của các hình học với các tiên đề, định nghĩa, định lý, và chứng minh-cho thời gian của mình-một thành tựu khoa học đáng ngưỡng mộ. Hình học trường học được trình bày trong một thời trang tương tự như tiên đề giả định rằng học sinh nghĩ rằng trên một mức độ suy luận chính thức. Tuy nhiên, mà thường không phải là trường hợp, và họ thiếu sự hiểu biết điều kiện tiên quyết về hình học. Thiếu này tạo ra một khoảng cách giữa mức độ suy nghĩ và là cần thiết cho hình học mà họ dự kiến sẽ tìm hiểu.Một sự hiểu lầm tương tự như được thấy trong dạy học ở trường tiểu học. Như đã được thực hiện bởi Euclid trong hình học, nhà toán học đã phát triển các công trình tiên đề cho số học, sau đó có thể ảnh hưởng đến số học được giảng dạy trong trường học. Trong những năm 1950, Piaget và tôi đã diễn một đứng chống lại sự hiểu lầm này. Tuy nhiên, nó không giúp đỡ, chỉ sau đó, lý thuyết tập hợp được thành lập như là nền tảng cho các số và số học trường dựa trên bộ được thực hiện trên toàn thế giới trong những gì thường được gọi là "new toán." Cho một vài năm, này chủ yếu là quan niệm sai lầm học toán-ematics, và cuối cùng đến chỉ sau khi kết quả tiêu cực đã được báo cáo. Piaget của quan điểm trên, mà tôi hỗ trợ trìu mến, là "cho có vẻ-tion tốt hơn cho nó tại thời sai." Chúng tôi phải cung cấp giảng dạy phù hợp với trình độ tư duy của trẻ em.

Results (Vietnamese) 2:

Việc dạy học toán hình học và số học đã là một nguồn gốc của nhiều sự hiểu lầm. Hình học trường trung học trong một thời gian dài dựa trên hình học tiên đề hình thức mà Euclid tạo ra hơn 2000 năm trước.
Xây dựng hợp lý của ông về hình học với các tiên đề, ​​định nghĩa, định lý, và chứng minh nó was- cho-một thời gian thành tựu khoa học đáng ngưỡng mộ của mình. Hình học học được trình bày trong một thời trang tương tự như tiên đề cho rằng sinh viên nghĩ rằng trên một mức độ suy luận chính thức. Tuy nhiên, đó thường không phải là trường hợp, và họ thiếu hiểu biết điều kiện tiên quyết về hình học. Thiếu điều này tạo ra một khoảng cách giữa mức độ suy nghĩ của họ và điều đó cần thiết cho việc hình học mà họ đang mong đợi để tìm hiểu.
Một sự hiểu lầm tương tự được nhìn thấy trong các giáo huấn của số học ở trường tiểu học. Như đã được thực hiện bởi Euclid trong hình học, toán học phát triển các công trình tiên đề cho số học, mà sau đó ảnh hưởng đến số học được giảng dạy trong các trường học. Trong những năm 1950, Piaget và tôi đã đứng chống lại sự hiểu lầm này. Tuy nhiên, nó đã không giúp đỡ, chỉ sau đó, lý thuyết tập hợp được thành lập như là nền tảng cho số, và số học trường dựa trên bộ đã được thực hiện trên toàn thế giới trong những gì thường được gọi là "toán học mới." Trong nhiều năm, quan niệm sai lầm thống trị toán học này - ematics, và cuối cùng chỉ đến sau khi kết quả âm tính đã được báo cáo. Điểm của Piaget xem, mà tôi hỗ trợ trìu mến, là "cho không có sự giáo dục tốt hơn cho nó đúng lúc." Chúng ta phải cung cấp giảng dạy thích hợp với mức độ suy nghĩ của trẻ em.