ON THE PHASE DIAGRAM FOR MICROPHASE

ON THE PHASE DIAGRAM FOR MICROPHASE SEPARATION OF DIBLOCK COPOLYMERS: AN APPROACH VIA A NONLOCAL CAHN–HILLIARD FUNCTIONAL∗
RUSTUM CHOKSI†, MARK A. PELETIER‡, AND J. F. WILLIAMS†
Abstract. We consider analytical and numerical aspects of the phase diagram for microphase separation of diblock copolymers. Our approach is variational and is based upon a density functional theory which entails minimization of a nonlocal Cahn–Hilliard functional. Based upon two parameters which characterize the phase diagram, we give a preliminary analysis of the phase plane. That is, we divide the plane into regions wherein a combination of analysis and numerics is used to describe minimizers. In particular we identify a regime wherein the uniform (disordered state) is the unique global minimizer; a regime wherein the constant state is linearly unstable and where numerical simulations are currently the only tool for characterizing the phase geometry; and a regime of small volume fraction wherein we conjecture that small well-separated approximately spherical objects are the unique global minimizer. For this last regime, we present an asymptotic analysis from the point of view of the energetics which will be complemented by rigorous Γ-convergence results to appear in a subsequent article. For all regimes, we present numerical simulations to support and expand on our findings.
Key words. diblock copolymers, phase diagram, modified Cahn–Hilliard equation
AMS subject classifications. 74N15, 49S05, 35K30, 35K55
DOI. 10.1137/080728809
1. Introduction. A diblock copolymer is a linear-chain molecule consisting of two subchains joined covalently to each other. One of the subchains is made of NA monomers of type A and the other consists of NB monomers of type B. Below a critical temperature, even a weak repulsion between unlike monomers A and B induces a strong repulsion between the subchains, causing the subchains to segregate. A macroscopicsegregationwhere the subchains detach from one another cannot occur becausethechains arechemicallybonded. Rather, aphaseseparationonamesoscopic scale with A- and B-rich domains emerges (see Figure 1). The observed mesoscopic domains, illustratedinFigure2, arehighlyregularperiodicstructuresincluding lamellae, spheres, cylindrical tubes, and double gyroids (see, for example, [4, 51, 16, 21]). The usefulness of block copolymer melts is exactly this remarkable ability for self-assembly into particular geometries. For example, this property can be exploited to create materials with designer mechanical, optical, and magnetic properties [4, 21]. Therefore, from a theoretical point of view, one of the main challenges is to predict the phase geometry/morphology for a given set of material parameters (i.e., thecreationofthephasediagram). Therearethreedimensionlessmaterialparameters involvedin the microphaseseparation: (i) χ, theFlory–Huggins interaction parameter measuring the incompatibility of the two monomers; (ii) N = NA +NB, theindex of polymerization measuring the number of monomers per macromolecule; and (iii) f,
∗Received by the editors June 28, 2008; accepted for publication (in revised form) January 8, 2009; published electronically April 1, 2009. http://www.siam.org/journals/siap/69-6/72880.html †Department of Mathematics, Simon Fraser University, Burnaby V5A 1S6, BC, Canada (choksi@ math.sfu.ca, [e-mail]). The research of these authors was partially supported by NSERC Canada Discovery grants. ‡Department of Mathematics, Eindhoven University of Technology, Eindhoven, The Netherlands ([e-mail]). This author’s research was partially supported by NWO project 639.032.306.

Results (Vietnamese) 1:

VÀO GIAI ĐOẠN SƠ ĐỒ CHO MICROPHASE TÁCH DIBLOCK COPOLYME: MỘT CÁCH TIẾP CẬN THÔNG QUA MỘT FUNCTIONAL∗ NONLOCAL CAHN-HILLIARDRUSTUM CHOKSI†, MARK A. PELETIER‡ VÀ J. F. WILLIAMS†Tóm tắt. Chúng ta hãy xem xét các khía cạnh phân tích và số của biểu đồ pha microphase tách diblock copolyme. Phương pháp tiếp cận của chúng tôi là variational và dựa trên một lý thuyết hàm mật độ mà đòi hỏi phải giảm thiểu một nonlocal Cahn-Hilliard chức năng. Dựa trên hai tham số mô tả biểu đồ pha, chúng tôi cung cấp một phân tích sơ bộ của giai đoạn bay. Có nghĩa là, chúng tôi chia máy bay vào khu vực mà trong đó một sự kết hợp của các phân tích và numerics được sử dụng để mô tả các minimizers. Đặc biệt chúng tôi xác định một chế độ mà trong đó đồng phục (rối loạn nước) là toàn cầu minimizer độc đáo; một chế độ mà trong đó các nhà nước liên tục là tuyến tính không ổn định và nơi mà số mô phỏng hiện đang là công cụ duy nhất cho characterizing hình học giai đoạn; và một chế độ của phần khối lượng nhỏ mà trong đó chúng ta phỏng đoán đồ vật nhỏ tách biệt nhau cũng xấp xỉ hình cầu là minimizer toàn cầu duy nhất. Cho chế độ cuối cùng này, chúng tôi trình bày một phân tích tiệm cận từ điểm nhìn của energetics mà sẽ được bổ sung bởi khắt khe Γ-hội tụ kết quả xuất hiện trong một bài viết tiếp theo. Cho tất cả các chế độ, chúng tôi trình bày các mô phỏng số để hỗ trợ và mở rộng trên findings của chúng tôi.Từ khóa. diblock copolyme, biểu đồ pha, modified phương trình Cahn-HilliardAMS chủ đề classifications. 74N15, 49S05, 35K 30, 35K 55DOI. 10.1137/0807288091. giới thiệu. Diblock copolymer là một phân tử tuyến tính chuỗi gồm hai subchains đã tham gia một với nhau. Một trong những subchains được làm bằng NA monome loại một và khác bao gồm NB monome loại sinh dưới một nhiệt độ quan trọng, thậm chí gây ra một repulsion yếu giữa không giống như các monome A và B một repulsion mạnh mẽ giữa subchains, gây ra subchains để phân biệt. Một macroscopicsegregationwhere các subchains tách khỏi nhau không thể xảy ra becausethechains arechemicallybonded. Thay vào đó, quy mô aphaseseparationonamesoscopic với A, B giàu tên miền nổi lên (xem hình 1). Các tên miền quan sát mesoscopic, illustratedinFigure2, arehighlyregularperiodicstructuresincluding lá mỏng, lĩnh vực, ống hình trụ và đôi gyroids (xem, ví dụ, [4, 51, 16, 21]). Tính hữu dụng của khối copolymer tan ra là chính xác đáng kể khả năng này để tự assembly thành hình cụ thể. Ví dụ, tài sản này có thể được khai thác để tạo ra vật liệu với thiết kế cơ khí, quang học, và từ tính [4, 21]. Vì vậy, từ một lý thuyết quan điểm trên, một trong những thách thức chính là để dự đoán các giai đoạn hình học/hình thái cho một tập hợp các thông số vật liệu (ví dụ, thecreationofthephasediagram). Therearethreedimensionlessmaterialparameters involvedin microphaseseparation: (i) χ, theFlory-Huggins tương tác tham số đo lường không tương thích của hai monome; (ii) N = NA + NB, theindex trùng hợp đo số monome mỗi macromolecule; và (iii) f,∗Received bởi các biên tập viên ngày 28 tháng 6 năm 2008; chấp nhận cho các ấn phẩm (trong các hình thức sửa đổi) ngày 8 tháng 1 năm 2009; xuất bản điện tử 1, tháng 4 năm 2009. http://www.Siam.org/Journals/siap/69-6/72880.html †Department của toán học, đại học Simon Fraser, Burnaby V5A 1S6, BC, Canada (choksi @ math.sfu.ca, [e-mail]). Các nghiên cứu của các tác giả được hỗ trợ một phần bởi KHOA Canada khám phá tài trợ. ‡Department toán học, đại học công nghệ Eindhoven, Eindhoven, Hà Lan ([e-mail]). Nghiên cứu của tác giả này được hỗ trợ một phần bởi NWO dự án 639.032.306.

Results (Vietnamese) 2:

VỀ ĐỒ GIAI ĐOẠN CHO MICROPHASE TÁCH của các copolyme DIBLOCK: AN TIẾP CẬN VIA Một không cục bộ Cahn-HILLIARD CHỨC NĂNG *
RUSTUM CHOKSI †, MARK A. Peletier ‡ VÀ JF WILLIAMS †
Tóm tắt. Chúng tôi xem xét các khía cạnh phân tích và tính toán của sơ đồ giai đoạn để tách microphase của copolyme diblock. Cách tiếp cận của chúng tôi là biến phân và dựa trên mật độ lý thuyết chức năng mà đòi hỏi phải giảm thiểu một không cục bộ Cahn-Hilliard chức năng. Dựa trên hai thông số đặc trưng cho giai đoạn sơ đồ, chúng tôi cung cấp một phân tích sơ bộ của máy bay giai đoạn. Đó là, chúng tôi chia mặt phẳng thành các vùng trong đó một sự kết hợp của phân tích và numerics được sử dụng để mô tả minimizers. Đặc biệt chúng tôi xác định một chế độ trong đó thống nhất (trạng thái xáo trộn) là minimizer toàn cầu độc đáo; một chế độ trong đó nhà nước liên tục là tuyến tính không ổn định và nơi mô phỏng số hiện nay là công cụ duy nhất để mô tả đặc tính hình học giai đoạn; và một chế độ phần khối lượng nhỏ trong đó chúng tôi phỏng đoán rằng cũng tách đối tượng nhỏ khoảng cầu là minimizer toàn cầu duy nhất. Đối với chế độ cuối cùng này, chúng tôi trình bày một phân tích tiệm cận từ quan điểm của năng lượng học sẽ được bổ sung bằng kết quả Γ-tụ khắt khe để xuất hiện trong một bài viết sau này. Đối với tất cả các chế độ, chúng tôi trình bày mô phỏng số để hỗ trợ và mở rộng về những phát hiện của chúng tôi fi.
Từ khóa. copolyme diblock, đồ pha, Modi fi ed phương trình Cahn-Hilliard
đề AMS cation phân loại fi. 74N15, 49S05, 35K30, 35K55
DOI. 10,1137 / 080.728.809
1. Giới thiệu. Một copolymer diblock là một phân tử tuyến tính chuỗi gồm hai subchains tham gia đồng hóa trị với nhau. Một trong những subchains được làm bằng NA monome của loại A và bao gồm các khác của NB monome của loại B. Dưới nhiệt độ tới hạn, thậm chí là một lực đẩy yếu giữa các monome không giống như A và B gây ra một lực đẩy mạnh mẽ giữa các subchains, gây ra subchains để cách ly. Một macroscopicsegregationwhere các subchains tách khỏi nhau không thể xảy ra becausethechains arechemicallybonded. Thay vào đó, quy mô aphaseseparationonamesoscopic với A và B lĩnh vực giàu xuất hiện với sự (xem hình 1). Các lĩnh vực vi mô quan sát, illustratedinFigure2, arehighlyregularperiodicstructuresincluding lá mỏng, hình cầu, ống hình trụ, và gyroids đôi (xem, ví dụ, [4, 51, 16, 21]). Sự hữu ích của tan copolymer khối chính là khả năng vượt trội này để tự lắp ráp thành hình học cụ thể. Ví dụ, khách sạn này có thể được khai thác để tạo ra vật liệu với thiết kế cơ khí, quang học, và từ tính [4, 21]. Vì vậy, từ một quan điểm lý thuyết, một trong những thách thức chính là để dự đoán các giai đoạn hình / hình thái cho một tập hợp các thông số vật liệu (ví dụ, thecreationofthephasediagram). Therearethreedimensionlessmaterialparameters involvedin các microphaseseparation: (i) χ, theFlory-Huggins tham số tương tác đo không tương thích của hai monome; (ii) N = NA + NB, theindex trùng hợp đo số lượng các monome mỗi phân tử; và (iii) f,
* Được các biên tập viên 28 tháng sáu năm 2008; chấp nhận cho công bố (theo mẫu sửa đổi) ngày 08 tháng 1 2009; xuất bản điện tử ngày 01 tháng 4, 2009. http://www.siam.org/journals/siap/69-6/72880.html † Khoa Toán, Đại học Simon Fraser, Burnaby V5A 1S6, BC, Canada (choksi @ math.sfu .ca, [e-mail]). Các nghiên cứu của các tác giả này đã được hỗ trợ một phần bởi các khoản tài trợ NSERC Canada Discovery. ‡ Khoa Toán, Đại học Công nghệ Eindhoven, Eindhoven, Hà Lan ([e-mail]). Nghiên cứu của tác giả này đã được hỗ trợ một phần bởi dự án NWO 639.032.306.