Exercise 3.4.1: Let R(A, B, C, D, E

Exercise 3.4.1: Let R(A, B, C, D, E) be decomposed into relations with the
following three sets of attributes: {A, B, C}, {B, C, D}, and {A, C, E). For each
of the following sets of FD’s, use the chase test to tell whether the decomposition
of R is lossless. For those that are not lossless, give an example of an instance
of R that returns more than R when projected onto the decomposed relations
and rejoined.
a) B —^ E and CE —¥ A.
b) AC -» E and BC D.
c) A >■ D, D —^ E, and B —^ D.
d) A —>■ D, CD —> E, and E —^ D.
Exercise 3.4.2: For each of the sets of FD’s in Exercise 3.4.1, are dependencies
preserved by the decomposition?
3.5 Third Normal Form
The solution to the problem illustrated by Example 3.25 is to relax our BCNF
requirement slightly, in order to allow the occasional relation schema that can­
not be decomposed into BCNF relations without our losing the ability to check
the FD’s. This relaxed condition is called “third normal form.” In this section
we shall give the requirements for third normal form, and then show how to
do a decomposition in a manner quite different from Algorithm 3.20, in order
to obtain relations in third normal form that have both the lossless-join and
dependency-preservation properties.
3.5.1 Definition of Third Normal Form
A relation R is in third normal form (3NF) if:
• Whenever Ai A2 ■ ■ ■ A„ —>■ BiB2 ■ ■ ■ Bm is a nontrivial FD, either
{A i ,A2,... ,A„}
is a superkey, or those of B%, B 2 ,... , Bm that are not among the A’s, are
each a member of some key (not necessarily the same key).
An attribute that is a member of some key is often said to be prime. Thus, the
3NF condition can be stated as “for each nontrivial FD, either the left side is a
superkey, or the right side consists of prime attributes only.”
Note that the difference between this 3NF condition and the BCNF condi­
tion is the clause “is a member of some key (i.e., prime).” This clause “excuses”
an FD like theater —> city in Example 3.25, because the right side, city, is
prime.
3.5. THIRD NORMAL FORM 103
Other Normal Forms
If there is a “third normal form,” what happened to the first two “nor­
mal forms”? They indeed were defined, but today there is little use for
them. First normal form is simply the condition that every component
of every tuple is an atomic value. Second normal form is a less restrictive
verison of 3NF. There is also a “fourth normal form” that we shall meet
in Section 3.6.
3.5.2 The Synthesis Algorithm for 3NF Schemas
We can now explain and justify how we decompose a relation R into a set of
relations such that:
a) The relations of the decomposition are all in 3NF.
b) The decomposition has a lossless join.
c) The decomposition has the dependency-preservation property.
Algorithm 3.26: Synthesis of Third-Normal-Form Relations With a Lossless
Join and Dependency Preservation.
INPUT: A relation R and a set F of functional dependencies that hold for R.
OUTPUT: A decomposition of R into a collection of relations, each of which is
in 3NF. The decomposition has the lossless-join and dependency-preservation
properties.
METHOD: Perform the following steps:
1. Find a minimal basis for F, say G.
2. For each functional dependency X —> A in G, use X A as the schema of
one of the relations in the decomposition.
3. If none of the relation schemas from Step 2 is a superkey for R, add
another relation whose schema is a key for R.
□
Example 3.27: Consider the relation R(A,B,C ,D ,E) with FD’s AB —>■ C,
C -»■ B, and A ->■ D. To start, notice that the given FD’s are their own
minimal basis. To check, we need to do a bit of work. First, we need to verify
that we cannot eliminate any of the given dependencies. That is, we show,
using Algorithm 3.7, that no two of the FD’s imply the third. For example,
we must take the closure of {A, B}, the left side of the first FD, using only the
104 CHAPTER 3. DESIGN THEORY FOR RELATIONAL DATABASES
second and third FD’s, C —» B and A —> D. This closure includes D but not
C, so we conclude that the first FD AB —>• C is not implied by the second and
third FD’s. We get a similar conclusion if we try to drop the second or third
FD.
We must also verify that we cannot eliminate any attributes from a left
side. In this simple case, the only possibility is that we could eliminate A or
B from the first FD. For example, if we eliminate A, we would be left with
B —► C. We must show that B C is not implied by the three original FD’s,
AB C, C B, and A —> D. With these FD’s, the closure of {5} is just B,
so B —> C does not follow. A similar conclusion is drawn if we try to drop B
from AB -> C. Thus, we have our minimal basis.
We start the 3NF synthesis by taking the attributes of each FD as a relation
schema. That is, we get relations Si(A,B,C), S 2 {B, C). and Sz{A,D). It is
never necessary to use a relation whose schema is a proper subset of another
relation’s schema, so we can drop
We must a

Results (Russian) 2:

Физические упражнения 3.4.1: Пусть R (А, В, С, D, Е) разложить на отношения со
следующими тремя наборами атрибутов: {A, B, C}, {B, C, D}, и {А, С, Е). Для каждого
из следующих наборов FD, используйте тест погоней сказать разложение ли
из R сжатие без потерь. Для тех, кто не без потерь, приведем пример экземпляра
из R , который возвращает больше , чем R , когда проецируются на разложенных отношений
и вернулся.
А) В - ^ Е и СЕ - ¥ А.
б) AC -> E и D до н.э. .
с)> ■ D, D - ^ Е, и в - ^ D.
г) -> ■ D, CD -> Е и Е - ^ D.
Упражнение 3.4.2: Для каждого из множеств ФЗ в упражнении 3.4.1, являются зависимостями ,
сохраняемые разложения?
3.5 Третья нормальная форма
решение задачи иллюстрируется примером 3.25, чтобы расслабиться наш BCNF
немного требование, чтобы позволить случайное отношение схемы , которые могут
не быть разложен на BCNF отношений без нашего потерять возможность проверить
ФД - х. Это расслабленный состояние называется "третьей нормальной формой». В этом разделе
мы дадим требования к третьей нормальной форме, а затем показать , как
сделать разложение в манере , совершенно отличной от алгоритма 3.20, для того ,
чтобы получить отношения в третьей нормальной форме которые имеют как без потерь-Join и
зависимостей по сохранению свойств.
3.5.1 Определение третьей нормальной форме
отношение R находится в третьей нормальной форме (3NF) , если:
• Всякий раз , когда Ai A2 ■ ■ ■ а "-> ■ BiB2 ■ ■ ■ Bm является нетривиальной FD, либо
{A я, А2, ..., А "}
является суперключ, или те B%, B 2, ..., Bm , которые не входят в число А - х, являются
каждый член некоторые клавиши (не обязательно тот же ключ).
атрибут , который является членом какой - то ключ часто называется простым. Таким образом,
условие 3NF можно сформулировать как "для каждого нетривиального FD, либо левая сторона является
суперключ, или правая сторона состоит из премьер - атрибуты только."
Обратите внимание , что разница между этим условием 3NF и BCNF Конди
ции является раздел "является членом какого - то ключа (т.е., Prime)." Этот раздел "отмазки"
FD как и театр -> город в примере 3.25, потому что правая сторона, город, есть
. премьер
3.5. Третья нормальная форма 103
Другие Нормальные формы
Если есть "третья нормальная форма," что случилось с первых двух " , ни
мальных форм"? Они действительно были определены, но сегодня мало пользы для
них. Первая нормальная форма просто условие , что каждый компонент
каждого кортежа является атомарным значением. Вторая нормальная форма является менее ограничительным
verison из 3NF. Существует также «четвертая нормальная форма" , что мы встретимся
в разделе 3.6.
3.5.2 Синтез Алгоритм 3NF Schemas
Теперь мы можем объяснить и оправдать , как мы разлагать отношение R на множество
отношений , таких , что:
а) отношения разложения все в 3NF.
б) разложение имеет без потерь соединения.
с) разложение имеет свойство зависимостей сохранения.
Алгоритм 3.26 Синтез третьими в нормальной форме отношений с Lossless
Регистрация и Dependency Сохранение.
Вход: отношение R и множество F функциональных зависимостей , которые держат для R.
Выход: разложение R в совокупность отношений, каждая из которых
в 3NF. Разложение имеет без потерь присоединиться и зависимостей сохранения
свойств.
Метод: Выполните следующие действия:
1. Найти минимальную основу для F, скажем G.
2. Для каждой функциональной зависимости X -> A в G, использовать ХА в качестве схемы
одного из соотношений в разложении.
3. Если ни один из реляционных схем из шага 2 не является суперключ для R, добавить
еще одно соотношение, схема является ключом для R.
□
Пример 3.27: Рассмотрим отношение R (A, B, C, D, E) с AB ФЗ -> ■ С,
С -> ■ в, и а -> ■ D. Для начала, обратите внимание , что данные FD являются их собственные
минимальный базис. Чтобы проверить, что нам нужно сделать немного работы. Во- первых, мы должны убедиться ,
что мы не можем исключить какой - либо из приведенных зависимостей. То есть, мы показываем,
используя алгоритм 3.7, что никакие два из ФЗ не подразумевают третье. Например,
мы должны взять замыкание {A, B}, в левой части первого FD, используя только
104 ГЛАВА 3. Разработайте теория реляционных баз данных
второго и третьего ФЗ, С - »В и А -> D. Это замыкание включает в себя D , но не
с, поэтому мы приходим к выводу , что первый FD AB -> • C не вытекает из второго и
третьего ФЗ. Мы получаем подобный вывод , если мы попытаемся отбросить второй или третий
FD.
Мы также должны убедиться , что мы не можем устранить любые атрибуты из левой
стороны. В этом простом случае, единственная возможность состоит в том, что мы могли бы устранить А или
B от первого FD. Например, если мы исключаем А, мы остались бы с
B * ■ С. Мы должны показать , что BC не вытекает три оригинала ФЗ,
AB C, CB, и A -> D. С помощью этих FD - х, замыкание {5} просто B,
так что B -> C не следует. Аналогичный вывод о том , если мы попытаемся отбросить B
от AB -.> С. Таким образом, мы имеем наш минимальный базис
Мы начинаем синтез 3NF, принимая атрибуты каждого FD как отношение
схемы. То есть, мы получаем соотношения Si (A, B, C), S 2 {B, C). и Sz {A, D). Ни для кого
никогда необходимо использовать соотношение, схема является подмножеством другого
схемы отношению, поэтому мы можем упасть
Мы должны

Results (Russian) 3:

осуществление 3.4.1: пусть R (A, B, C, D, E) следует перевести в отношениях сследующие три параметра: {A, B, C.}, {B, C, D.}, {A, C, E).для каждогоследующие наборы бнд, использовать чейз испытания, рассказать ли.R - без потерь.те, которые не без потерь, дать пример инстанцииR, что возвращение более чем R проецируемая на разрушенную отношенияи возвращаются.a) b - ^ е и се - йен.b) AC - "е и год до н. э. D.c), d), D - ^ е и B - ^ д.d) - >, D, CD - > е и E - ^ д.осуществление 3.4.2: для каждой из групп бнд в осуществление 3.4.1, зависимостисохранить разложение?3.5 третья нормальная формарешение этой проблемы свидетельствует, например, 3.25, заключается в том, чтобы расслабиться, наши bcnfтребование незначительно, с тем чтобы случайные связи схемы, которые могут -не разлагается в bcnf отношения без потери способности.FD. это расслабленное состояние называется "третья нормальная форма". в этом разделемы должны дать требования в отношении третьих нормальная форма, а затем показать, каку разложения, таким образом, весьма отличается от алгоритма ", с тем чтобыдля получения отношений в третьей нормальная форма, как клей присоединиться изависимость сохранение свойств.3.5.1 определение третья нормальная формас R - в третьей нормальная форма (3nf), если:• когда ма а2, а в "- >, bib2, в, BM - нетривиальной бнд, либо{я, а2.- "}это суперключ, или тех, кто в%, 2., бм, которые не входят в число A,каждый член ряда ключевых (не обязательно же ключ).атрибут, который является членом ряда ключевых часто утверждается, премьер.таким образом,3nf состояние может быть определена как "для каждого нетривиальной бнд, либо слева -суперключ, или справа состоит из премьер объясняет только ".следует отметить, что разница между этой 3nf состояние и bcnf конди -о, это положение "является членом ряда ключевых (например, премьер)". это положение "извинения".в бнд, как театр - > город, например, 3.25, потому что справа, город,премьер.3.5.третья нормальная форма 103остальные нормальные формыесли есть "третья нормальная форма," то, что произошло на первых двух "не -тза форм "?они действительно были определены, но сегодня мало используют дляих.первая нормальная форма - это лишь при условии, что каждый компоненткаждый кортеж является по стоимости.вторая нормальная форма является менее ограничительный характерverison из 3nf.есть также "четвертой нормальная форма", что мы встретимсяв раздел 3.6.3.5.2 обобщение алгоритм 3nf схемтеперь мы можем объяснить и оправдать, как мы разлагаться с R в наборотношения такие, что:a) отношения разложения, все в 3nf.b) разложение, не без потерь присоединиться.c) разложение имеет зависимости сохранения собственности.алгоритм 3.26: обобщение третьих нормальная форма отношений с без потерьприсоединяйтесь и зависимости сохранения.вход: отношение R и набор функциональных зависимостей, что у ф р.результат: разложение R в коллекцию отношений, каждый из которых являетсяв 3nf.разложение может присоединиться и зависимости сохранения без потерьсвойства.метод: выполнять следующие шаги:1.найти минимальной основы для F, скажем, г.2.для каждой функциональной зависимости X - > в G, использовать X, как схемаодин из отношений в разложение.3.если ни одна из схем с шагом с 2 - суперключ для R, добавитьдругой связи, схема является ключевым для R.*пример 3.27: рассмотреть вопрос о связи R (A, B, C, D, E), где FD - AB - >, C,C - »■ B, и - - >, D. для начала, уведомление о том, что с учетом FD - ихминимальную основу.проверить, нам нужно немного поработать.во - первых, мы должны проверитьмы не можем исключить любые данной зависимости.вот, мы покажем,с использованием алгоритма 3,7, что нет двух FD - предполагает третий.например,мы должны принять закрытия {A, B}, слева от первой бнд, используя только104, глава 3.разработка теории реляционные базы данныхвторой и третий бнд, C - » в и - > д. это прекратить, но не включает DC, поэтому мы пришли к выводу, что первый fd AB - > • C не подразумевал второй итретий fd. мы получим аналогичный вывод, если мы попытаемся снять второй или третьейfd.мы также должны удостовериться в том, что мы не можем исключить любые атрибутов из левойстороны.в этой простой случай, единственная возможность заключается в том, что мы могли бы ликвидировать илиb с первого fd.например, если мы уничтожим, мы не будетB - ► с. мы должны показать, что c не из трех оригинальных бнд,AB, C B, и - > д. с этими бнд, закрытие {5} - это просто B,так, B - > C не последует.аналогичный вывод, если мы попробуем снять bиз AB - > с. таким образом, у нас есть наши минимальные основания.мы начинаем 3nf синтез с атрибутами каждого бнд в отношениисхемы.вот, у нас отношения si a), b), c), S 2 {B, C).и SZ {A, D).этоникогда не надо использовать связь, схема - это правильное подмножество другогосвязи схемы, S