The use of language in mathematics

The use of language in mathematics differs from the language of
ordinary speech in three important ways. First it is nontemporal ó there
is no past, present, or future in mathematics. Everything just is. This
presents difficulties in forming convincing examples of, say, logical principles using ordinary subjects, but it is not a major difficulty for the student.
Also, mathematical language is devoid of emotional content, although
informally mathematicians tend to enliven their speech with phrases
like ìLook at the subspace killed by this operatorî or ìWe want to increase
the number of good edges in the coloring.î Again, the absence of emotion
from formal mathematical discourse or its introduction in informal
discourse presents no difficulty for students.
The third feature that distinguishes mathematical from ordinary language,
one which causes enormous difficulties for students, is its precision.
Ordinary speech is full of ambiguities, innuendoes, hidden agendas,
and unspoken cultural assumptions. Paradoxically, the very clarity and
lack of ambiguity in mathematics is actually a stumbling block for the
neophyte. Being conditioned to resolving ambiguities in ordinary speech,
many students are constantly searching for the hidden assumptions in
mathematical assertions. But there are none, so inevitably they end up
changing the stated meaning ó and creating a misunderstanding. Conversely,
since ordinary speech tolerates so much ambiguity, most students
have little practice in forming clear, precise sentences and often lack
the patience to do so. Like Benjamin Franklin they seem to feel that
mathematicians spend too much time ìdistinguishing upon trifles to the
disruption of all true conversation.î
But this is the price that must be paid to enter a new discourse
community. Ambiguities can be tolerated only when there is a shared
base of experiences and assumptions. There are two options: to leave the
students in the dark, or to tell them the rules of the game. The latter
involves providing the experiences and explaining the assumptions upon
which the mathematical community bases its discourse. It requires painstaking
study of details that, once grasped, pass naturally into the routine,
just as a foreign language student must give meticulous attention to declensions
and conjugations so that he can use them later without consciously
thinking of them. The learning tools are the same as those in a
language class: writing, speaking, listening, memorizing models, and learning
the history and culture. Just as one cannot read literature without
understanding the language, similarly in mathematics (where ìtranslationî
is not possible) this exacting preparation is needed before one can
turn to the true problems. Thus it has become an important part of all my
introductory courses, both at the undergraduate and graduate level.
This paper is a report on my efforts to make the rhetorical and syntactical
structure of mathematical discourse explicit and apparent to the
ordinary student. For concreteness sake, it is based on examples from a
College Geometry course for juniors majoring in Secondary Mathematics
Education. The same principles and goals apply, however, from freshman
discrete mathematics for computer science majors to the linear algebra

Results (Vietnamese) 1:

Sử dụng ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ củabài phát biểu thông thường trong ba cách quan trọng. Trước đó là nontemporal ó cólà không quá khứ, hiện tại hoặc tương lai trong toán học. Tất cả mọi thứ chỉ là. Điều nàytrình bày những khó khăn trong hình thành các ví dụ thuyết phục của, nói, hợp lý nguyên tắc sử dụng đối tượng bình thường, nhưng nó không phải là một khó khăn chính cho học sinh.Ngoài ra, ngôn ngữ toán học là không có những nội dung tình cảm, mặc dùkhông chính thức nhà toán học có xu hướng để linh hoạt của bài phát biểu với cụm từnhư ìLook lúc con bị giết bởi này muốn operatorî hoặc ìWe để tăngsố lượng tốt đa cung trong coloring.î một lần nữa, sự vắng mặt của cảm xúctừ chính thức toán học discourse hoặc giới thiệu vào không chính thứcdiscourse trình bày không có khó khăn cho sinh viên.Tính năng thứ ba phân biệt toán học từ ngôn ngữ bình thường,một trong những nguyên nhân gây khó khăn rất lớn cho sinh viên, là chính xác của nó.Bài phát biểu thông thường là đầy đủ của ambiguities, innuendoes, chương trình nghị sự ẩn,và giả định văn hóa không nói ra. Nghịch lý, rất rõ ràng vàthiếu không rõ ràng trong toán học là thực sự là một khối stumbling cho cácTân đảng viên. Điều kiện để giải quyết ambiguities trong bài phát biểu thông thường,nhiều sinh viên đang tìm kiếm liên tục cho các giả định ẩn trongtoán học khẳng định. Nhưng không có không có, vì vậy, chắc chắn họ kết thúcthay đổi ó đã mô tả ý nghĩa và tạo ra một sự hiểu lầm. Ngược lại,kể từ khi bài phát biểu thông thường chịu đựng rất nhiều mơ hồ, hầu hết học sinhcó chút luyện tập trong hình thành rõ ràng, chính xác câu và thường thiếukiên nhẫn để làm như vậy. Giống như Benjamin Franklin, dường như họ cảm thấy rằngnhà toán học chi tiêu quá nhiều thời gian ìdistinguishing khi trifles để cácphá vỡ tất cả sự thật conversation.îNhưng đây là mức giá mà phải được trả tiền để nhập một discourse mớicộng đồng. Ambiguities có thể được chấp nhận chỉ khi có một chia sẻcơ sở của những kinh nghiệm và giả định. Có hai lựa chọn: để lại cácsinh viên trong bóng tối, hoặc để cho họ biết các quy tắc của trò chơi. Loại thứ hailiên quan đến việc cung cấp những kinh nghiệm và giải thích các giả định sau khimà cộng đồng toán học căn cứ discourse của nó. Nó đòi hỏi painstakingCác nghiên cứu chi tiết đó, cùng một nắm, vượt qua tự nhiên thành thói quen,cũng giống như một ngôn ngữ nước ngoài học sinh phải cung cấp cho sự quan tâm tỉ mỉ đến declensionsvà chia do đó, rằng ông có thể sử dụng chúng sau này mà không có ý thứcsuy nghĩ của họ. Các công cụ học tập là tương tự như những người trong mộtngôn ngữ lớp: viết, nói, nghe, ghi nhớ các mô hình, và học tậplịch sử và văn hóa. Cũng giống như một không thể đọc văn học mà không cósự hiểu biết ngôn ngữ, tương tự như vậy trong toán học (nơi ìtranslationîlà không thể) chuẩn bị exacting này cần thiết trước khi nó có thểchuyển sang những vấn đề thực sự. Do đó nó đã trở thành một phần quan trọng của tất cả của tôigiới thiệu khóa học, cả ở Đại học và sau đại học cấp.Bài báo này là một báo cáo về nỗ lực của tôi để làm cho rhetorical và syntacticalcấu trúc của toán học discourse rõ ràng và rõ ràng với cácsinh viên bình thường. Vì concreteness, nó được dựa trên ví dụ từ mộtĐại học hình học khóa học dành cho thiếu nhi majoring trong trung học toán họcGiáo dục. Các nguyên tắc và mục tiêu tương tự áp dụng, Tuy nhiên, từ sinh viên năm nhấttoán học rời rạc cho chuyên ngành khoa học máy tính cho đại số tuyến tính

Results (Vietnamese) 2:

Việc sử dụng ngôn ngữ trong toán học khác với ngôn ngữ của
lời nói bình thường trong ba cách quan trọng. Đầu tiên đó là tính thời gian ó có
không có quá khứ, hiện tại và tương lai trong toán học. Tất cả mọi thứ chỉ là. Điều này
trình bày những khó khăn trong việc hình thành những ví dụ thuyết phục, nói rằng, nguyên tắc hợp lý đối tượng sử dụng bình thường, nhưng nó không phải là một khó khăn lớn cho các sinh viên.
Ngoài ra, ngôn ngữ toán học là không có các nội dung về tình cảm, mặc dù
không chính thức các nhà toán học có xu hướng để làm sinh động bài phát biểu của mình với các cụm từ
như ìLook tại các không gian con bị giết bởi operatorî này hoặc IWE muốn tăng
số cạnh tốt trong coloring.î Một lần nữa, sự vắng mặt của cảm xúc
từ bài giảng toán học chính thức hoặc không chính thức được giới thiệu vào
bài giảng trình bày những khó khăn không có cho sinh viên.
Các tính năng thứ ba mà phân biệt toán học từ ngôn ngữ thông thường,
một trong đó đã gây khó khăn rất lớn cho sinh viên, là độ chính xác của nó.
bài phát biểu thông thường là đầy đủ của sự mơ hồ, nói bóng gió, ý đồ gì,
và giả định văn hóa không nói ra. Nghịch lý thay, sự rõ ràng rất và
thiếu sự mơ hồ trong toán học thực sự là một trở ngại cho
người mới vào nghề. Được điều kiện để giải quyết sự mơ hồ trong bài phát biểu thông thường,
nhiều sinh viên không ngừng tìm kiếm các giả định ẩn trong
khẳng định toán học. Nhưng không có, vì vậy chắc chắn họ sẽ
thay đổi ó nghĩa đã nêu và tạo ra một sự hiểu lầm. Ngược lại,
kể từ khi bài phát biểu thông thường dung nạp quá nhiều mơ hồ, hầu hết sinh viên
có rất ít thực hành trong việc hình thành rõ ràng, câu chính xác và thường thiếu
kiên nhẫn để làm như vậy. Giống như Benjamin Franklin họ dường như cảm thấy rằng
các nhà toán học dành quá nhiều thời gian vào những chuyện vặt vãnh ìdistinguishing đến
sự gián đoạn của tất cả conversation.î đúng
Nhưng đây là giá phải trả cho một diễn ngôn mới nhập
cộng đồng. Mơ hồ có thể được dung thứ chỉ khi có một chia sẻ
cơ sở kinh nghiệm và các giả định. Có hai lựa chọn: để lại những
sinh viên trong bóng tối, hay nói cho họ biết các quy tắc của trò chơi. Sau này
liên quan đến việc cung cấp những kinh nghiệm và giải thích các giả định khi
mà cộng đồng toán học căn cứ ngôn của mình. Nó đòi hỏi siêng năng
nghiên cứu của các chi tiết đó, một khi nắm bắt, vượt qua một cách tự nhiên thành thói quen,
chỉ là một sinh viên ngoại ngữ phải chú ý tỉ mỉ đến declensions
và cách chia động từ để ông có thể sử dụng chúng sau này mà không có ý thức
suy nghĩ của họ. Các công cụ học tập cũng giống như những người trong một
lớp học ngôn ngữ: viết, nói, nghe, ghi nhớ các mô hình, và học
lịch sử và văn hóa. Cũng như không ai có thể đọc tài liệu mà không có
sự hiểu biết về ngôn ngữ, tương tự như trong toán học (nơi ìtranslationî
là không thể) chuẩn bị chính xác này là cần thiết trước khi có thể
chuyển sang các vấn đề thực sự. Vì vậy, nó đã trở thành một phần quan trọng của tất cả của tôi
khóa học giới thiệu, cả ở cấp đại học và sau đại học.
Bài viết này là một báo cáo về những nỗ lực của tôi để làm cho các tu từ và cú pháp
cấu trúc của ngôn toán học rõ ràng và rõ ràng cho các
học sinh bình thường. Đối với concreteness vì lợi ích, nó được dựa trên các ví dụ từ một
Cao đẳng khóa học Hình học dành cho thiếu nhi chuyên ngành Toán học Secondary
Education. Các nguyên tắc và mục tiêu tương tự áp dụng, tuy nhiên, từ năm thứ nhất
toán học rời rạc cho chuyên ngành khoa học máy tính để các đại số tuyến tính