Language in Mathematics? A comparat

Language in Mathematics?
A comparative study of four national curricula
Sigmund Ongstad

Background
This short, somewhat summative study builds on four co-ordinated small-scale investigations of the explicit role of language and communication in mathematics curricula in England, Norway, Sweden and Romania. The study aims at addressing major, relevant key issues for an overall, international framework for language(s) of schooling. The background papers and texts hence consist of a study of each country's curriculum (Pepin, 2007a, Hudson and Nyström, 2007, Singer, 2007a and Ongstad, 2007a). The Swedish and the Romanian studies both have an attachment. In the former, particular tasks for evaluating language in mathematics are discussed. The latter gives a rather detailed overview over how language and communication is discursively positioned within the national curriculum in mathematics in Romania.
Finally there are two other texts published separately, one by B. Pepin that compares mathematics education in United Kingdom, Germany and France (Pepin, 2007b), and one by F. M. Singer that discusses the role of cognition in relation to language (Singer, 2007b). A longer paper by S. Ongstad, published separately, will sum up how language and communication is positioned within mathematics education on the curricular level in more general terms (Ongstad, 2007b). This overarching text will even suggest strategies for how LAC in mathematics can contribute to a general framework for language(s) of schooling. The paper will to some extent build on a work published in Educational Studies in Mathematics, Mathematics and Mathematics Education as Triadic Communication? (Ongstad, 2006).
England
Primary school in England ranges from age 5 to 11 (with focus on two so-called Key Stages, KS1 and KS2), whereas secondary (comprehensive) school ranges from age 11 to 16 (KS3 and KS4). Study programmes in the National Curriculum describe ‘what pupils should be taught’. What are called ‘attainment targets’ (AT) give expected standards of performance (as an outcome of teaching and learning). In mathematics there are four: using and applying mathematics; number and algebra; shape, space and measures; and handling data (HD). All the ATs consist of eight level descriptions of increasing difficulty, plus a description for exceptional performance above level 8.
There are four Key Stages for learning achievement along the years. KS3 and KS4 are described in The Secondary National Strategy. KS3, which seems closest to the end of compulsory schooling in other European countries, aims to raise standards by strengthening teaching and learning across the curriculum for all 11–14 year olds.
Except for formulations such as mathematics provides opportunities for pupils to develop the key skills of: Communication, through learning to express ideas and methods precisely, unambiguously and concisely and Working with others, through group activity and discussions on mathematical ideas language and communication is not really a significant issue in the national curriculum for mathematics in England at KS3. Still, one can find other formulations that reveal consciousness of the role of language and communication, such as Interpret, discuss and synthesise geometrical information, communicate mathematically making use of geometrical diagrams and related explanatory text, Use precise language and exact methods to analyse geometrical configurations, and justify their choices.
Pepin concludes that:
(...) the National Curriculum (statutory) as well as the National Strategy (non- statutory), are concerned about language and communication for the teaching and learning of mathematics. Interestingly, the National Strategy seems to be mainly anxious about children learning the right kind of vocabulary in mathematics, such as for example inverse, equivalence, equality, proportionality, congruence, similarity, linearity, and so on.
There is a certain emphasis on communicational aspects such as discussion and interpretation, reasoning and proof (nevertheless still focusing language elements such as if …then, because, therefore, implies …, or what if …? And why?). Although the NC claims that to communicate mathematically, including the use of precise mathematical language is at the heart of the endeavour, Pepin's impression is that overall it is the language aspect that is highlighted and emphasised, rather than communication. She also doubts whether curricular intentions are followed up in classrooms.
While curricular descriptions of both literacy, language and communication and of mathematics in primary education contains many ideas about relationships between language and mathematics, this connection seems to have been clearly downsized in secondary education/KS3. Here mathematics as such is the focus.
Sweden
In considering the aim of mathematics and its role in education, compulsory schools in Sweden have the task of:
(…)providing pupils with the knowledge in mathematics needed for them to be able to make well-founded decisions when making different choices in everyday life, in order to be able to interpret and use the increasing flow of information and be able to follow and participate in decision-making processes in society. It is intended that the subject should provide a sound basis for studying other subjects, for further education and lifelong learning (Skolverket, 2007).
Hudson and Nyström (2007) find that mathematics as part of the wider culture and education is stressed in terms of giving an insight into the subject’s historical development, its significance and role in society. Also:
The subject aims at developing the pupil's interest in mathematics, as well as creating opportunities for communicating in mathematical language and expressions. It should also give pupils the opportunity to discover aesthetic values in mathematical patterns, forms and relationships, as well as experience, satisfaction and joy in understanding and solving problems (Skolverket, 2007).
Although the importance to practise and communicate mathematically in meaningful and relevant situations are emphasised, the chapter concerning goals to aim for gives no explicit reference to communication. Hudson and Nyström find this rather surprising in view of the explicitly stated aims. Further, there are no explicit references to language and communication aspects in the section on the structure and nature of the subject or in the goals to be attained either by the end of the early phase or at the very end of compulsory school.
It should be noted though that there is explicit reference to the importance of oral communication in the criteria under the section on the student’s ability to use, develop and express mathematical knowledge: An important aspect of knowing mathematics is the student’s ability to express her/his thoughts orally and in writing, with the help of the mathematical language of symbols and supported by concrete material and pictures.
Swedish examples of mathematical tasks particularly suited for communication can be found in the national assessment system. Swedish national tests in mathematics are designed to cover a broad spectrum of the syllabus, they are fairly low-stakes and to a high degree aligned with the curriculum. Examples can be found in Appendix 1 (Hudson and Nyström, 2007).
Romania
In her study, Singer (2007a) found that new philosophies of education promoted by the National Curriculum put more emphasis on language across the curriculum. Thus, among the four framework objectives for mathematics in compulsory education, there is one devoted explicitly to communication: Knowledge and use of mathematical concepts, Development of exploration, investigation and problem-solving capacities, Communicate using mathematical language and Develop interest and motivation for studying mathematics and applying them to various contexts.
After investigating in detail the relationship between mathematics on the one hand and language and communication on the other hand in the different parts of the written curriculum, Singer concludes in six points. (These language and communication aspects are to some extent based on concepts developed in earlier texts by S. Ongstad and by H. Vollmer.):
Language as direct communication, as a way to exchange ideas and interact with others, to jointly construct meaning in pairs, in small groups or in the classroom as a whole, to negotiate meaning. Among the four framework objectives, one is devoted to communicating using the mathematical language. The reference objectives for “Communicating using the mathematical language”, as for the other framework objectives, are constructed in progression from grade one to the last grade of compulsory education.
Language as an expression of understanding and text comprehension. Some reference objectives emphasise reading and writing mathematical texts, as well as decoding mathematics texts through the help of logical operators and quantifiers.
Language as (disciplinary) content (especially basic meanings/ terms and expressions). Language as reflecting the structure of a topic or theme is emphasised within the framework objective “Knowledge and use of mathematical concepts”, in the learning activities that are focused on terminology.
Language as discursive pragmatics, language as realisations of basic discourse functions (like naming, defining, describing, explaining, supporting, reporting, hypothesising, evaluating etc.) is emphasised in various examples of learning activities that are provided within the subject curriculum for each grade.
Aspects related to language as creativity (the rheme/new part in theme-rheme or given-new dynamics) language as the tool and means for developing, creating and expressing new concepts and insights are targeted through the framework objective “Developing competencies in exploration, investigation and problem-solving”.
Language for reflectin

Results (Vietnamese) 1:

Ngôn ngữ trong toán học? Một nghiên cứu so sánh của bốn quốc gia chương trình giảng dạySigmund OngstadNềnNghiên cứu này ngắn, hơi tổng kết xây dựng trên bốn điều tra hợp đồng quy mô nhỏ của vai trò rõ ràng của ngôn ngữ và giao tiếp trong chương trình giảng dạy toán học ở Anh, Na Uy, Thụy Điển và Romania. Nghiên cứu nhằm mục đích giải quyết vấn đề quan trọng lớn, có liên quan cho một khuôn khổ chung, quốc tế cho ngoân ngöõ học. Nền giấy tờ và các văn bản do đó bao gồm một nghiên cứu chương trình giảng dạy của mỗi nước (Pepin, 2007a, Hudson và Nyström, 2007, ca sĩ, 2007a và Ongstad, 2007a). Thụy Điển và các nghiên cứu Rumani đều có phần đính kèm. Trong trước đây, các nhiệm vụ cụ thể để đánh giá các ngôn ngữ trong toán học được thảo luận. Sau này cho một tổng quan chi tiết khá hơn cách ngôn ngữ và truyền thông là discursively vị trí trong chương trình quốc gia trong toán học ở Romania. Finally there are two other texts published separately, one by B. Pepin that compares mathematics education in United Kingdom, Germany and France (Pepin, 2007b), and one by F. M. Singer that discusses the role of cognition in relation to language (Singer, 2007b). A longer paper by S. Ongstad, published separately, will sum up how language and communication is positioned within mathematics education on the curricular level in more general terms (Ongstad, 2007b). This overarching text will even suggest strategies for how LAC in mathematics can contribute to a general framework for language(s) of schooling. The paper will to some extent build on a work published in Educational Studies in Mathematics, Mathematics and Mathematics Education as Triadic Communication? (Ongstad, 2006).EnglandPrimary school in England ranges from age 5 to 11 (with focus on two so-called Key Stages, KS1 and KS2), whereas secondary (comprehensive) school ranges from age 11 to 16 (KS3 and KS4). Study programmes in the National Curriculum describe ‘what pupils should be taught’. What are called ‘attainment targets’ (AT) give expected standards of performance (as an outcome of teaching and learning). In mathematics there are four: using and applying mathematics; number and algebra; shape, space and measures; and handling data (HD). All the ATs consist of eight level descriptions of increasing difficulty, plus a description for exceptional performance above level 8.There are four Key Stages for learning achievement along the years. KS3 and KS4 are described in The Secondary National Strategy. KS3, which seems closest to the end of compulsory schooling in other European countries, aims to raise standards by strengthening teaching and learning across the curriculum for all 11–14 year olds.Except for formulations such as mathematics provides opportunities for pupils to develop the key skills of: Communication, through learning to express ideas and methods precisely, unambiguously and concisely and Working with others, through group activity and discussions on mathematical ideas language and communication is not really a significant issue in the national curriculum for mathematics in England at KS3. Still, one can find other formulations that reveal consciousness of the role of language and communication, such as Interpret, discuss and synthesise geometrical information, communicate mathematically making use of geometrical diagrams and related explanatory text, Use precise language and exact methods to analyse geometrical configurations, and justify their choices.Pepin concludes that: (...) the National Curriculum (statutory) as well as the National Strategy (non- statutory), are concerned about language and communication for the teaching and learning of mathematics. Interestingly, the National Strategy seems to be mainly anxious about children learning the right kind of vocabulary in mathematics, such as for example inverse, equivalence, equality, proportionality, congruence, similarity, linearity, and so on. There is a certain emphasis on communicational aspects such as discussion and interpretation, reasoning and proof (nevertheless still focusing language elements such as if …then, because, therefore, implies …, or what if …? And why?). Although the NC claims that to communicate mathematically, including the use of precise mathematical language is at the heart of the endeavour, Pepin's impression is that overall it is the language aspect that is highlighted and emphasised, rather than communication. She also doubts whether curricular intentions are followed up in classrooms.While curricular descriptions of both literacy, language and communication and of mathematics in primary education contains many ideas about relationships between language and mathematics, this connection seems to have been clearly downsized in secondary education/KS3. Here mathematics as such is the focus.SwedenIn considering the aim of mathematics and its role in education, compulsory schools in Sweden have the task of: (…)providing pupils with the knowledge in mathematics needed for them to be able to make well-founded decisions when making different choices in everyday life, in order to be able to interpret and use the increasing flow of information and be able to follow and participate in decision-making processes in society. It is intended that the subject should provide a sound basis for studying other subjects, for further education and lifelong learning (Skolverket, 2007).Hudson and Nyström (2007) find that mathematics as part of the wider culture and education is stressed in terms of giving an insight into the subject’s historical development, its significance and role in society. Also:The subject aims at developing the pupil's interest in mathematics, as well as creating opportunities for communicating in mathematical language and expressions. It should also give pupils the opportunity to discover aesthetic values in mathematical patterns, forms and relationships, as well as experience, satisfaction and joy in understanding and solving problems (Skolverket, 2007).Although the importance to practise and communicate mathematically in meaningful and relevant situations are emphasised, the chapter concerning goals to aim for gives no explicit reference to communication. Hudson and Nyström find this rather surprising in view of the explicitly stated aims. Further, there are no explicit references to language and communication aspects in the section on the structure and nature of the subject or in the goals to be attained either by the end of the early phase or at the very end of compulsory school.It should be noted though that there is explicit reference to the importance of oral communication in the criteria under the section on the student’s ability to use, develop and express mathematical knowledge: An important aspect of knowing mathematics is the student’s ability to express her/his thoughts orally and in writing, with the help of the mathematical language of symbols and supported by concrete material and pictures.Swedish examples of mathematical tasks particularly suited for communication can be found in the national assessment system. Swedish national tests in mathematics are designed to cover a broad spectrum of the syllabus, they are fairly low-stakes and to a high degree aligned with the curriculum. Examples can be found in Appendix 1 (Hudson and Nyström, 2007).RomaniaIn her study, Singer (2007a) found that new philosophies of education promoted by the National Curriculum put more emphasis on language across the curriculum. Thus, among the four framework objectives for mathematics in compulsory education, there is one devoted explicitly to communication: Knowledge and use of mathematical concepts, Development of exploration, investigation and problem-solving capacities, Communicate using mathematical language and Develop interest and motivation for studying mathematics and applying them to various contexts.After investigating in detail the relationship between mathematics on the one hand and language and communication on the other hand in the different parts of the written curriculum, Singer concludes in six points. (These language and communication aspects are to some extent based on concepts developed in earlier texts by S. Ongstad and by H. Vollmer.):Language as direct communication, as a way to exchange ideas and interact with others, to jointly construct meaning in pairs, in small groups or in the classroom as a whole, to negotiate meaning. Among the four framework objectives, one is devoted to communicating using the mathematical language. The reference objectives for “Communicating using the mathematical language”, as for the other framework objectives, are constructed in progression from grade one to the last grade of compulsory education. Language as an expression of understanding and text comprehension. Some reference objectives emphasise reading and writing mathematical texts, as well as decoding mathematics texts through the help of logical operators and quantifiers.
Language as (disciplinary) content (especially basic meanings/ terms and expressions). Language as reflecting the structure of a topic or theme is emphasised within the framework objective “Knowledge and use of mathematical concepts”, in the learning activities that are focused on terminology.
Language as discursive pragmatics, language as realisations of basic discourse functions (like naming, defining, describing, explaining, supporting, reporting, hypothesising, evaluating etc.) is emphasised in various examples of learning activities that are provided within the subject curriculum for each grade.
Aspects related to language as creativity (the rheme/new part in theme-rheme or given-new dynamics) language as the tool and means for developing, creating and expressing new concepts and insights are targeted through the framework objective “Developing competencies in exploration, investigation and problem-solving”.
Language for reflectin

Results (Vietnamese) 2:

Ngôn ngữ trong Toán học?
Một nghiên cứu so sánh trong bốn chương trình giảng dạy quốc gia
Sigmund Ongstad Background ngắn, nghiên cứu phần nào tổng kết này được xây dựng dựa trên bốn cuộc điều tra quy mô nhỏ phối hợp của các vai trò rõ ràng của ngôn ngữ và giao tiếp trong chương trình giảng dạy toán học ở Anh, Na Uy, Thụy Điển và Romania. Nghiên cứu này nhằm giải quyết, vấn đề quan trọng liên quan chính cho một, khuôn khổ quốc tế chung cho ngôn ngữ (s) đi học. Các tài liệu cơ sở và các văn bản do đó bao gồm một nghiên cứu của Chương trình giảng dạy của từng quốc gia (Pepin, 2007a, Hudson và Nyström năm 2007, ca sĩ, 2007a và Ongstad, 2007a). Thụy Điển và các nghiên cứu Rumani cả hai đều có một tập tin đính kèm. Trong các nhiệm vụ cụ thể cho cựu đánh giá ngôn ngữ trong toán học được thảo luận. Sau đó cho một tổng quan khá chi tiết về cách ngôn ngữ và giao tiếp được diễn ngôn vị trí trong chương trình quốc gia về toán học ở Romania. Cuối cùng có hai văn bản khác được xuất bản riêng, một của B. Pepin mà so sánh giáo dục toán học ở Vương quốc Anh, Đức và Pháp ( Pepin, 2007b), và một của FM Singer thảo luận về vai trò của nhận thức liên quan đến ngôn ngữ (Singer, 2007b). Một bài báo còn bởi S. Ongstad, công bố riêng, sẽ tổng hợp cách ngôn ngữ và giao tiếp được định vị trong giáo dục toán học ở cấp độ ngoại khóa trong nhiều điều khoản chung (Ongstad, 2007b). Văn bản bao quát này thậm chí sẽ đề xuất chiến lược cho cách LAC trong toán học có thể đóng góp cho một khuôn khổ chung cho ngôn ngữ (s) đi học. Các giấy chí một số phạm vi xây dựng trên một tác phẩm được xuất bản trong nghiên cứu giáo dục trong Toán học, Toán học và Toán học Giáo dục như bộ ba truyền thông? (Ongstad, 2006). Anh tiểu học ở Anh khoảng từ 5 tuổi đến 11 (tập trung vào hai cái gọi là giai đoạn chính, KS1 và KS2), trong khi đó (toàn diện) phạm vi trường trung học từ 11 tuổi đến 16 (KS3 và KS4) . Chương trình nghiên cứu trong chương trình giảng dạy quốc gia mô tả "những gì học sinh cần phải được dạy '. Được gọi là gì mục tiêu đạt được '(AT) cho tiêu chuẩn thực hiện (như là một kết quả của việc giảng dạy và học tập). Trong toán học có bốn: sử dụng và ứng dụng toán học; số và đại số; hình dạng, không gian và các biện pháp; và xử lý dữ liệu (HD). Tất cả các ATS gồm tám thiệu mức độ khó khăn ngày càng tăng, cộng với một mô tả cho hiệu năng vượt trội trên cấp 8. Có bốn giai đoạn chính cho việc học tập thành tích dọc theo năm. KS3 và KS4 được mô tả trong Chiến lược quốc gia thứ cấp. KS3, mà dường như gần cuối học bắt buộc ở các nước châu Âu khác, nhằm mục đích nâng cao tiêu chuẩn bằng cách tăng cường giảng dạy và học tập qua các chương trình giảng dạy cho tất cả các lứa tuổi 11-14 năm. Ngoại trừ cho các công thức toán học như cung cấp cơ hội cho học sinh để phát triển quan trọng kỹ năng: giao tiếp, thông qua học tập để thể hiện ý tưởng và phương pháp chính xác, rõ ràng và súc tích và làm việc với những người khác, thông qua các hoạt động nhóm và thảo luận về ý tưởng toán học ngôn ngữ và giao tiếp không phải là thực sự là một vấn đề quan trọng trong chương trình quốc gia về toán học ở Anh Quốc vào KS3. Tuy nhiên, người ta có thể tìm thấy các công thức khác mà tiết lộ ý thức về vai trò của ngôn ngữ và giao tiếp, chẳng hạn như Interpret, thảo luận và tổng hợp thông tin hình học, giao tiếp toán học làm việc sử dụng sơ đồ hình học và các văn bản giải thích liên quan, sử dụng các phương pháp ngôn ngữ và chính xác chính xác để phân tích cấu hình hình học , và biện minh cho sự lựa chọn của họ. Pepin kết luận rằng: (...) Chương trình đào tạo quốc gia (luật định) cũng như Chiến lược quốc gia (không bắt buộc), lo ngại về ngôn ngữ và giao cho việc giảng dạy và học tập của toán học. Điều thú vị là, Chiến lược quốc gia có vẻ là chủ yếu lo lắng về con cái học tập đúng loại vốn từ vựng trong toán học, chẳng hạn như ví dụ ngược, tương đương, bình đẳng, tương xứng, đồng dư, tương tự, tuyến tính, và như vậy. Có một sự nhấn mạnh nhất định trên communicational khía cạnh như thảo luận và giải thích, lý luận và bằng chứng (tuy nhiên vẫn tập trung các yếu tố ngôn ngữ như nếu ... thì, bởi vì, do đó, hàm ý ..., hoặc nếu những gì ...? Và tại sao?). Mặc dù tuyên bố rằng NC để giao tiếp về mặt toán học, bao gồm cả việc sử dụng ngôn ngữ toán học chính xác là ở trung tâm của các nỗ lực, ấn tượng Pepin là tổng thể nó là những khía cạnh ngôn ngữ được làm nổi bật và nhấn mạnh, chứ không phải là thông tin liên lạc. Cô cũng nghi ngờ cho dù ý định của chương trình đào tạo được theo dõi tiếp trong lớp học. Trong khi giới thiệu chương trình đào tạo của cả hai biết chữ, ngôn ngữ và giao tiếp và của toán học trong giáo dục tiểu học có nhiều ý tưởng về mối quan hệ giữa ngôn ngữ và toán học, kết nối này dường như đã được cắt giảm rõ trong giáo dục trung học / KS3. . Đây toán học như vậy là sự tập trung Thụy Điển Trong việc xem xét mục đích của toán học và vai trò của nó trong giáo dục, trường học bắt buộc ở Thụy Điển có nhiệm vụ: (...) cung cấp học sinh với những kiến thức về toán học cần thiết để họ có thể thực hiện an sinh thành lập các quyết định khi có sự lựa chọn khác nhau trong cuộc sống hàng ngày, để có thể hiểu và sử dụng các dòng chảy ngày càng tăng của thông tin và có thể theo dõi và tham gia vào các quá trình ra quyết định trong xã hội. Đó là dự định mà đối tượng nên cung cấp một nền tảng vững chắc cho việc học tập các môn học khác, cho giáo dục và học tập suốt đời (Skolverket, 2007). Hudson và Nyström (2007) thấy rằng toán học như là một phần của nền văn hóa rộng lớn hơn và giáo dục được nhấn mạnh trong các điều khoản của đưa ra một cái nhìn sâu sắc vào lịch sử phát triển của đối tượng, ý nghĩa và vai trò của nó trong xã hội. Ngoài ra: Các chủ đề nhằm phát triển mối quan tâm của học sinh trong toán học, cũng như tạo cơ hội cho việc giao tiếp bằng ngôn ngữ toán học và biểu thức. Nó cũng sẽ cung cấp cho học sinh cơ hội để khám phá những giá trị thẩm mỹ trong mô hình toán học, hình thức và các mối quan hệ, cũng như kinh nghiệm, sự hài lòng và niềm vui trong sự hiểu biết và giải quyết vấn đề (Skolverket, 2007). Mặc dù tầm quan trọng để thực hành và giao tiếp bằng toán học trong ý nghĩa và liên quan tình huống này được nhấn mạnh, các chương liên quan đến mục tiêu nhắm tới cho không có dẫn chứng rõ ràng để giao tiếp. Hudson và Nyström tìm thấy điều này khá đáng ngạc nhiên theo quan điểm của các mục tiêu quy định rõ ràng. Hơn nữa, không có tài liệu tham khảo rõ ràng để ngôn ngữ và giao diện trong phần về cấu trúc và tính chất của đối tượng hoặc trong những mục tiêu phải đạt được bằng cách kết thúc của giai đoạn đầu hoặc ở cuối của trường bắt buộc. Nó sẽ được lưu ý rằng mặc dù có đề cập rõ đến tầm quan trọng của giao tiếp bằng lời trong các tiêu chí dưới phần vào khả năng của học sinh để sử dụng, phát triển và thể hiện kiến thức toán học: Một khía cạnh quan trọng của toán học biết là khả năng của học sinh để bày tỏ cô / suy nghĩ của mình bằng lời nói và bằng văn bản, với sự giúp đỡ của các ngôn ngữ toán học của các biểu tượng và được hỗ trợ bằng vật liệu bê tông và hình ảnh. ví dụ Thụy Điển nhiệm vụ toán học đặc biệt phù hợp cho truyền thông có thể được tìm thấy trong hệ thống đánh giá quốc gia. Kiểm tra quốc gia Thụy Điển trong toán học được thiết kế để bao gồm một phổ rộng của các giáo trình, họ là khá-cọc thấp và đến một mức độ cao phù hợp với chương trình giảng dạy. Ví dụ có thể được tìm thấy trong Phụ lục 1 (Hudson và Nyström, 2007). Romania Trong nghiên cứu của mình, ca sĩ (2007a) thấy rằng triết lý giáo dục mới được thúc đẩy bởi các chương trình giảng dạy quốc gia chú trọng hơn vào ngôn ngữ suốt chương trình học. Như vậy, trong số bốn mục tiêu khuôn khổ cho toán học trong giáo dục bắt buộc, có một cống hiến một cách rõ ràng để giao tiếp: Kiến thức và sử dụng các khái niệm toán học, Phát triển thăm dò, điều tra và năng lực giải quyết vấn đề, ​​giao tiếp bằng ngôn ngữ toán học và Phát triển các mối quan tâm và động lực học toán học và áp dụng chúng vào các ngữ cảnh khác nhau. Sau khi điều tra chi tiết về mối quan hệ giữa toán học trên một mặt và ngôn ngữ, truyền thông về các mặt khác trong các phần khác nhau của chương trình giảng dạy bằng văn bản, kết luận Singer trong sáu điểm. (Những ngôn ngữ và giao diện là một mức độ nào dựa trên các khái niệm phát triển trong các văn bản trước đó của S. Ongstad và H. Vollmer.): Ngôn ngữ là giao tiếp trực tiếp, như một cách để trao đổi ý tưởng và tương tác với những người khác, để cùng nhau xây dựng ý nghĩa trong cặp, theo nhóm nhỏ hoặc trong lớp học như một toàn thể, để thương lượng ý nghĩa. Trong số bốn mục tiêu khuôn khổ, một là dành cho việc giao tiếp bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học. Các mục tiêu tham chiếu cho "Giao tiếp bằng cách sử dụng ngôn ngữ toán học", như đối với các mục tiêu khuôn khổ khác, được xây dựng trong sự tiến triển từ lớp một đến lớp cuối cùng của giáo dục bắt buộc. Ngôn ngữ như một biểu hiện của sự hiểu biết và hiểu văn bản. Một số mục tiêu tham khảo nhấn mạnh đọc và viết văn bản toán học, cũng như giải mã văn bản toán học thông qua sự giúp đỡ của các nhà khai thác hợp lý và định lượng. Ngôn ngữ như (kỷ luật) nội dung (đặc biệt là cơ bản ý nghĩa / từ ngữ). Ngôn ngữ như phản ánh cấu trúc của một chủ đề hay một chủ đề được nhấn mạnh trong các mục tiêu khuôn khổ "Kiến thức và sử dụng các khái niệm toán học", trong các hoạt động học tập mà tập trung vào các thuật ngữ. Ngôn ngữ thực dụng như diễn ngôn, ngôn ngữ như ngộ của các chức năng ngôn cơ bản (như đặt tên , xác định, mô tả, giải thích, hỗ trợ, báo cáo, hypothesising, đánh giá vv) được nhấn mạnh trong các ví dụ khác nhau của hoạt động học tập được cung cấp trong chương trình giảng dạy chủ đề cho mỗi lớp. Các khía cạnh liên quan đến ngôn ngữ như sự sáng tạo (các rheme / phần mới trong chủ đề -rheme hoặc đưa ra mới năng động) ngôn ngữ là công cụ, phương tiện để phát triển, sáng tạo và thể hiện những khái niệm mới và những hiểu biết được mục tiêu thông qua các mục tiêu khủng "Phát triển năng lực trong thăm dò, điều tra và giải quyết vấn đề". Ngôn ngữ cho reflectin