A. Sorkin et al. / Physica A 303 (2

A. Sorkin et al. / Physica A 303 (2002) 13–26
means
w|z=0;d = @2w
@z2




z=0;d
= 0 (2.6)
andthe rigidboundary condition which means
w|z=0;d = @w
@z




z=0;d
= 0 : (2.7)
Here, w = u3; z is the component of the velocity vector eldand d is the distance
between the upper andlower planes.
One may select appropriate combinations of these two conditions: (free–free, rigid–
rigid, free–rigid). The following system is considered: a Guid is placed between the
two planes, the lower plane in our case is the bottom of the beaker, andthe upper
plane is a free boundary (open air), so we selected the free–rigid boundary condition.
In our experiment, the S liquidrepresentedby sugar solute is placedabove andthe T
liquidrepresentedby salt solute is placedbelow.
For the sake of simplicity, the T and S elds are treated as linear functions of
z coordinates (only the constant gradients of S and T are considered). A Cartesian
system of coordinates is the most convenient choice for the description: the origin is
placedon the bottom plane andthe z-axis is directed perpendicular to the planes with
a positive direction opposite to gravity acceleration vector.
T(z) and S(z) can be representedaccordingly by the functions
T(z) = T(0)(1 + z) ; (2.8)
S(z) = S(0)(1 + z) ; (2.9)
where  and  are both constant andpositive values.
Now let us investigate a small perturbation of our system that may lead to hydrody-
namic instability. Only very small perturbations are considered, which means that all
quadratic values (the second order perturbations and other higher order perturbations)
are being neglected.
ui = ˜ui + u

i; i = 1; 2; 3 ; (2.10)
T = T˜ + T
; (2.11)
S = S˜ + S
: (2.12)
The corresponding equations are as follows:

1
Pr
@
@t − ∇˜ 2
-

(∇˜ ˜u) = − RT∇2
T
+ RS∇2
S
; (2.13)

@
@t − ∇˜ 2
-

T˜ = − w
; (2.14)

@
@t − ∇˜ 2
-

S˜ = − w
:

Results (Thai) 1:

A. Sorkin et al. / Physica ที่ 303 (2002) 13-26หมายความว่าw|z = 0; d = @2w@z2z = 0; d= 0 (2.6)และเงื่อนไข rigidboundary ซึ่งหมายความว่าw|z = 0; d = @w@zz = 0; d= 0: (2.7)ที่นี่ w = u3 z คือส่วนประกอบของ d eldand เวกเตอร์ความเร็ว ระยะทางระหว่างเครื่องบินบน andlowerหนึ่งอาจเลือกชุดที่เหมาะสมของเงื่อนไขเหล่านี้ทั้งสอง: (ฟรีฟรี แข็ง-แข็ง ฟรี – แข็ง) พิจารณาระบบต่อไปนี้: Guid อยู่ระหว่างการสองเครื่องบิน เครื่องบินต่ำกว่าในกรณีของเราเป็นด้านล่างของบีกเกอร์ และบนเครื่องบินเป็นขอบฟรี (เปิดโล่ง), เพื่อให้เราเลือกเงื่อนไขขอบเขตฟรีแข็งในการทดลองของเรา S liquidrepresentedby น้ำตาลตัวคือ placedabove และ Tตัวถูกละลายเกลือ liquidrepresentedby เป็น placedbelowเพื่อความเรียบง่าย elds T และ S จะถือว่าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นของพิกัด z (จะพิจารณาเฉพาะไล่ระดับสีคง S และ T ได้) แบบคาร์ทีเซียนระบบพิกัดเป็นตัวเลือกสะดวกที่สุดสำหรับคำอธิบาย: เป็นจุดเริ่มต้นplacedon เครื่องบินด้านล่างและ z-axis การกำกับเส้นตั้งฉากกับเครื่องบินด้วยทิศทางบวกตรงข้ามกับเวกเตอร์ความเร่งแรงโน้มถ่วงT(z) และ S(z) สามารถ representedaccordingly โดยฟังก์ชันT(z) = T(0) (1 + z); (2.8)S(z) = S(0) (1 + z); (2.9)ที่มีทั้งค่าคง andpositiveตอนนี้ ให้เราตรวจสอบ perturbation เล็ก ๆ ของระบบที่อาจทำให้ hydrody-ขาดเสถียรภาพ namic Perturbations เท่าเล็ก ๆ กำลัง ซึ่งหมายความ ว่า ทั้งหมดค่ากำลังสอง (perturbations ลำดับสองและ perturbations อื่น ๆ สั่งสูง)มีกำลังที่ไม่มีกิจกรรมui = ˜ui + uฉัน ฉัน = 1 2 3 (2.10)T = T˜ + T (2.11)S = S˜ + S: (2.12)สมการที่เกี่ยวข้องจะเป็นดังนี้:1Pr@@t −∇˜ 2-(∇˜ ˜u) =− RT∇2T + RS∇2S (2.13)
@@t −∇˜ 2-T˜ = − w
; (2.14)
@@t − ∇˜ 2-S˜ = − w
:

Results (Thai) 3:

A . Sorkin et al . / physica เป็น 303 ( 2002 ) 13 – 26
w
หมายถึง | Z = 0 ; D = @ นะคะ
@
 กขึ้น


  
z = 0 = ; D
0
( 2.6 ) และ rigidboundary สภาพซึ่งหมายถึง
w | Z = 0 ; D = @ w
@ Z



   
z = 0 ; D
= 0 ( 2.7 )
, W = U3 ; Z เป็นส่วนประกอบของเวกเตอร์ความเร็ว  eldand d คือระยะทางระหว่างระนาบบน andlower
.
หนึ่งอาจจะเลือกชุดที่เหมาะสมของทั้งสองเงื่อนไข : ( จำกัด ฟรี–
แข็งแข็งฟรี ( แข็ง ) ระบบต่อไปนี้ถือว่าเป็น GUID ที่วางอยู่ระหว่าง
2 ลำ , ลดเครื่องบินในกรณีของเราคือด้านล่างของบีกเกอร์ และเครื่องบินบน
เป็นขอบเขตฟรี ( เปิดแอร์ ) ดังนั้นเราเลือกฟรี–แข็งระนาบ
ในการทดลองของเรา ด้วย liquidrepresentedby น้ำตาลตัวถูกละลายคือ placedabove และ T
liquidrepresentedby เกลือตัวถูกละลายคือ placedbelow .
เพื่อความเรียบง่าย , T และ S  elds จะถือว่าเป็นหน้าที่โดยตรงของ
Z พิกัด ( แต่คงไล่ของ S และ T จะพิจารณา ) เป็นระบบพิกัดคาร์ทีเซียน
เป็นทางเลือกที่สะดวกที่สุดสำหรับรายละเอียด : ที่มาเป็น
placedon ด้านล่างเครื่องบิน และเอฟทีเอโดยตรงตั้งฉากกับระนาบที่เป็นบวก ทิศทางตรงข้าม

เวกเตอร์ความเร่งแรงโน้มถ่วงT ( Z ) และ S ( Z ) สามารถ representedaccordingly โดยฟังก์ชัน
t ( z ) = T ( 0 ) ( 1  Z ) ; ( 2.8 )
( z ) = S ( 0 ) ( 1  ) Z ;
( 2.9 ) ที่   มีทั้งเชิงบวกและค่าคงที่ .
ตอนนี้ให้เราตรวจสอบขนาดเล็กความยุ่งเหยิงของระบบของเราที่อาจนำไปสู่ hydrody -
namic ไร้ แต่ถือว่าได้น้อยมาก ซึ่งหมายความว่าทุกคน
ค่ากำลังสอง ( ใบที่สอง และอื่นๆ ได้ เพื่อได้ถูกละเลย )
.
˜ UI UI = u

i ; i = 1 ; 2 ; 3 ; ( 2.10 )
T = T T ˜
; ( 2.11 )
S = S ˜ s :

( 2.12 ) สมการ ที่เกี่ยวข้องดังนี้ 1


PR
@
@ T −∇˜ 2
-
( ∇˜˜ u ) = − 2
t
RT ∇อาร์เอส∇ 2
s
; ( 2.13 )
@

@ T −∇˜ 2
-
t ˜ = − W
; ( 2.14 )
@

@ T −  ∇˜ 2
-
s ˜ = − W
: